Анотація до роботи:

Найдьонов С.В. Детермінований хаос у нелінійних системах з розривами. Рукопис. Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук за спеціальністю 01.04.02 – теоретична фізика. Інститут монокристалів НАН України, Харків, 2007.

Досліджено проблему динамічного хаосу в нелінійних системах з розривами, до яких відносяться більярди та інші фізичні системи, які описуються відображеннями з розривами. Запропоновано універсальний геометро-динамічний підхід для опису більярдів. Уведено нові категорії – симетричний фазовий простір, інволюція, «лакуни» і «дискримінанти» більярду, тощо. Побудовано топологічну теорію, теорію інволюцій, нормальних форм та інваріантних розподілів більярдів. Відкрито ефекти, що пов’язані з впливом топології фазового простору на динаміку більярду. Передбачено кореляційний ефект між інваріантним розподілом і кривизною більярду. Відкрито новий тип хаотичних більярдів – поліморфні більярди. Вивчено особливості хаосу в більярдах з розщепленням променів. На прикладі розривних відображень відкрито ефект виколювання періодичних орбіт і запропоновано пов'язаний з ним універсальний сценарій спонтанного переходу від регулярного руху до хаосу. Розроблено динамічну модель для оптичних систем, де передбачено фотометричний закон у випадку хаотичного світлозбирання та спектрометричний закон для регулярного світлозбирання. Побудовано теорію двох-енергетичної радіографії та встановлено універсальну залежність між ефективним атомним номером матеріалу і його радіографічним рефлексом. Означені результати добре співпадають з відомими експериментальними даними та закладають принципи створення нових фізичних пристроїв.

У роботі вирішено проблему геометро-динамічного (альтернативного) опису фізичних більярдів як типових динамічних систем з розривами, що дозволило отримати низку нових результатів і ефектів, в тому числі для недосліджуваних раніше поліморфних більярдів і більярдів з розщепленням променів. Винайдено витоки походження динамічного хаосу для нових моделей хаотичної динаміки – багатопараметричних немонотонних відображень з розривом, які з’являються в багатьох фізичних додатках і для яких відкрито новий універсальний сценарій спонтанного переходу від регулярного руху до хаосу. Продовжуючи розвиток загальної теорії, створено теорію динамічного світлозбирання і теорію мульти-енергетичної радіографії, у межах яких теоретично відкрито фізичні закономірності, які добре співпадають з відомими експериментальними даними, що гарантує подальшу затребуваність отриманих в роботі результатів.

Головні наукові і практичні результати роботи полягають в такому.

1. Для опису довільних більярдних систем запропонований геометро-динамічний підхід, що є альтернативою гамільтонівському. Цей підхід краще викриває найбільш суттєві симетрії та геометричні особливості більярдів як динамічних систем з розривами. Для опису фізичного стану променів уведено новий фазовий простір, координати якого, на відміну від гамільтонівських, є симетричними й нелокальними. В цьому просторі побудовано спеціальну динамічну систему для опису фазових траєкторій більярду, за рух яких відповідає нова універсальна характеристика – інволюція більярду.

2. Побудовано топологічну теорію більярдів у симетричному фазовому просторі, тільки в якому висвітлюються топологічні дефекти – лакуни або дискримінанти, що відповідають фізичному стану траєкторій у геометричному сутінку (більярди з негативною кривизною) або виродженим траєкторіям (більярди з нульовою кривизною). Встановлено загальну геометричну структуру симетричного фазового простору для двох- та багатовимірних більярдів, а також більярдів з багатозв’язною границею та більярдів із розщепленням променів. Досліджено загальну структуру лакун та дискримінант. Запропоновано повну топологічну класифікацію невироджених планарних більярдів, яка пов’язана з повною топологічною класифікацією двовимірних замкнутих поверхонь. Висловлено гіпотезу щодо зв’язку топологічного типу більярду з його хаотичними властивостями.

3. Побудовано теорію більярдних інволюцій. Отримано загальні рівняння (у різній формі) для інволюцій двох- та трьохвимірних більярдів. Сформульовано та вирішено пряму і зворотну задачу для інволюцій більярдів. Обчислено інволюції деяких більярдів, у тому числі в еліпсоїдах. Встановлено загальні властивості інволюцій, що пов’язані з новою фундаментальною ознакою – проективністю більярдів. Досліджено групові властивості більярдів, що буде корисним при вивченні багатовимірних більярдів.

4. Побудовано теорію локальних законів руху фазових траєкторій більярдів у симетричному фазовому просторі. Обчислено нормальні форми інволюцій та типи періодичних орбіт більярдів. Обчислено нормальні форми більярдів поблизу регулярних точок, особливої лінії нерухомих точок (фазової діагоналі) і поблизу періодичних траєкторій довільного періоду. Окреслено типи динамічного руху в більярдах. За допомогою розробленої теорії відкрито ефект випрямлення або еквівалентності траєкторіям більярду в колі для фазових траєкторій типу «галерей, що шепотять» поблизу границі опуклого більярду та ефект їх повного руйнування при виникненні топологічних перешкод – лакун чи дискримінант.

5. Побудовано теорію інваріантних (статистичних) розподілів більярдів у симетричному фазовому просторі. Останні, на відміну від традиційних, пов’язані з інволюцією, тобто з геометрією більярду, що дозволяє вперше зв’язати статистичні й геометричні властивості більярду. Запропоновано нові метричні характеристики – симетричну двохточкову міру, редуковані одноточкові розподілі, в тому числі функцію розподілу відбитків на границі більярду. Отримано функціональні рівняння для густини симетричної інваріантної міри та нелінійне кінетичне рівняння для густини розподілу відбитків. У межах анонсованого принципу факторизації обчислено симетричну міру через інволюцію більярду, у тому числі для еліптичного більярду. Відкрито кореляційний ефект між розподілом відбитків опуклого більярду і кривизною границі, що може використовуватись для керування променевою картиною в оптичних системах.

6. Запропоновано новий тип хаотичних більярдів, які мають границю з періодичною зміною знаку постійної за модулем кривизни. Ці поліморфні більярди відрізняються від відомих хаотичних більярдів Синая й Бунімовича наявністю змішаного типу хаосу променів, які одночасно розсіюються та дефокусуються. Доведено хаотичну поведінку траєкторій у сімействі поліморфних більярдів найнижчого порядку у вигляді гантелі. Доведено незалежність знаку показника Ляпунова від вибору координат в більярдах. Обчислено інваріантну густину відбитків для більярду в гантелі. Відкрито динамічний ефект зміни типу монотонності показника Ляпунова, що виникає при зміні топологічного типу дуального поліморфного більярду і який можна інтерпретувати як фазовий перехід.

7. У межах геометро-динамічного підходу розроблено динамічний опис оптичних більярдів з розщепленням та заломленням променів. Для цих більярдів також використано методи символічної динаміки і побудовано розширений симетричний фазовий простір, в якому враховано різноманітність можливих топологічних типів руху. Відповідна динамічна система визначається не одним, а набором елементарних відображень. З’ясовано нові механізми переходу до хаосу в таких більярдах. Досліджено динаміку більярду з розщепленням променів у вигляді кільця. На діагональних і недіагональних листах розширеного фазового простору вивчено фазові перебудови останнього в залежності від зміни його асиметрії, за допомогою чого винайдено геометро-динамічні ефекти виштовхування та запирання хаотичних траєкторій в певній частині більярду.

8. Запропоновано нову модель хаотичної динаміки – стандартне відображення з розривом, яка є сімейством оборотних бімодальних кусочно-лінійних відображень з розривом. Розроблено новий аналітичний метод обчислення структури циклів у відображеннях з розривами, що використовує спеціальні марківські розбивки фазового простору, які породжуються особливостями системи – розривами та екстремумами. Отримано загальні рівняння для аналітичного обчислення зон існування циклів довільно високого періоду. Теоретично обчислено границі виколювання деяких циклів, які повністю співпадають з даними незалежних комп’ютерних обчислень. Отримано карту динамічних режимів стандартного відображення з розривом та встановлено її типову телескопічну структуру.

9. Відкрито динамічний ефект виколювання періодичних орбіт (циклів) у відображеннях з розривами при плавній зміні керуючих параметрів. Передбачається, що він буде типовою особливістю нелінійних систем з розривами. Запропоновано новий універсальний сценарій переходу від регулярного руху до хаосу, який пов'язаний з виколюванням сталих циклів передчасно до їх повної втрати сталості. З’ясовано незвичне для гладких систем явище динамічної жорсткості у поведінці розривних систем відносно зовнішніх збурень, яке гарантує стабільність системи на межі сталості у певній області її параметрів, що може бути вельми корисним у фізичних застосуваннях, в тому числі в електроніці.

10. Запропоновано динамічну модель світлозбирання в оптичних більярдах, до складу яких відносяться сцинтиляційні детектори і світловоди, напівпровідникові світлодіоди, лазерні порожнини, тощо. Досліджено фазовий портрет світлозбирання та отримано загальні вирази для коефіцієнту світлозбирання та дисперсії його неоднорідностей (флуктуацій). Отримано формулу для коефіцієнту хаотичного світлозбирання, яка є узагальненням відомої емпіричної формули фотометричного світлового шару. З’ясовано динамічні витоки останньої. Запропоновано метод підвищення енергетичної ефективності оптичних систем за допомогою вибору геометрії хаотичного більярду. Винайдено спектрометричну універсальність для регулярного світлозбирання, яку добре підтверджено незалежними експериментальними даними. Спектрометричний закон для флуктуацій світлозбирання визначає важливу складову енергетичного розрізнення сцинтиляційних детекторів, від якої залежить прогнозована ефективність їх роботи.

11. Побудовано послідовну теорію двох-енергетичної радіографії, яка допускає узагальнення на випадок мульти-енергетичної радіографії. Окрім поліпшення ефективності детекторів-більярдів запропоновано мульти-енергетичний підхід для принципового покращення точності неруйнівного контролю та детектування не лише просторової, але також атомної (хімічної) структури матеріалів. Отримано загальні вирази для відновлення ефективного атомного номеру, густини та складу простих хімічних елементів або складових для двох-енергетичної радіографії. Доведено неможливість детектування атомного складу в рамках звичайної радіографії. Винайдено універсальну залежність між ефективним атомним номером та відносним рефлексом двох-енергетичної радіографії, яку добре підтверджено експериментальними даними з поглинання випромінювання у широкому колі простих матеріалів від вуглероду до урану, при чому в різних ділянках енергетичного спектру. Ці результати закладають теоретичні принципи для створення нового покоління антитерористичних сканерів і медичних томографів з підвищеною точністю контролю.

Публікації автора:

1. Найденов С.В., Яновский В.В. Перспективы сцинтилляционного детектора с хаотической динамикой световых лучей // Сборник статей «Функциональные материалы для науки и техники». - Харьков: Институт монокристаллов, 2001. - С. 132-166.

2. Ryzhikov V.D., Naydenov S.V., Opolonin O.D., Lysetska O.K., Pashko P.V. AIIBVI scintillator crystals and detectors for computer tomography application // Диэлектрики и полупроводники в детекторах излучений. - Харьков: НТК “Институт монокристаллов”, 2006. - С. 311-336.

3. Найденов С.В., Яновский В.В. Геометро-динамический подход к бильярдным системам. I. Проективная инволюция бильярда. Прямая и обратная задача // Теоретическая и Математическая Физика. - 2001. - Т. 126, № 1. - С. 110-124.

4. Найденов С.В., Яновский В.В. Геометро-динамический подход к биллиардным системам. II. Геометрические особенности инволюций // Теоретическая и Математическая Физика. - 2001. - Т. 129, № 1. - С. 116-130.

5. Найденов С.В., Яновский В.В. Геометро-динамическая унификация биллиардов // Доповіді НАН України. - 2001. - № 9. - С. 79-84.

6. Naydenov S.V., Yanovsky V.V. Stochastical theory of light collection. I. Detectors and billiards // Functional Materials. - 2000. - Vol. 7, No. 4 (2). - P. 743-752.

7. Naydenov S.V., Yanovsky V.V. Stochastical theory of light collection. II. Projective geometry and invariant distribution function of a billiard // Functional Materials. - 2001. - Vol. 8, No. 1. - P. 27-35.

8. Naydenov S.V., Yanovsky V.V. Stochastical theory of light collection. III. Dynamical portrait of light collection // Functional Materials. - 2001. - Vol. 8, No. 2. - P. 226-233.

9. Naydenov S.V., Yanovsky V.V. Stochastical theory of light collection. IV. Geometric-dynamic features of light collection in real detectors // Functional Materials. - 2001. - Vol. 8, No. 3. - P. 423-427.

10. Naydenov S.V., Ryzhikov V.D. A multi-energy approach for radiography of the functional materials // Functional Materials. - 2001. - Vol. 8, No. 4. - P. 604-608.

11. Найденов С.В., Яновский В.В. Инвариантные распределения в системах с упругими отражениями // Теоретическая и Математ. Физика. - 2002. - Т. 130, № 2. - С. 301-319.

12. Найденов С.В., Яновский В.В. Нормальные формы в теории биллиардов // Доповіді НАН України. - 2002. - № 12. - С. 58-65.

13. Найденов С.В., Рыжиков В.Д. Об определении химического состава методом мульти-энергетической радиографии // Письма в ЖТФ. - 2002. - Т. 28, вып. 9. - С. 6-13.

14. Найденов С.В., Яновский В.В., Тур А.В. Биллиардная проблема в симметричных координатах // Письма в ЖЭТФ. - 2002. - Т. 75, вып. 8. - С. 499-504.

15. Найденов С.В., Яновский В.В. Геометрические особенности нелинейной динамики систем с упругими отражениями. Биллиард и его инволюция // Прикладная нелинейная динамика. - 2002. - Т. 10, вып. 1-2. - С. 113-126.

16. Найденов С.В. Динамическая модель светосбора в детекторах и световодах // Журнал прикладной спектроскопии. - 2002. - Т. 69, № 4. - С. 529-536.

17. Найденов С.В., Рыжиков В.Д., Семиноженко В.П. Мульти-энергетический подход в неразрушающем контроле функциональных материалов // Доповіді НАН України. - 2002.- № 11. - С. 95-100.

18. Naydenov S.V. Photometric light collection shapes // Functional Materials. - 2002. - Vol. 9, No. 4. - P. 617-623.

19. Найденов С.В., Яновский В.В. Нормальные формы биллиардов // Математическая Физика, Анализ, Геометрия. - 2002. - Т. 9. - С. 663-685.

20. Гринев Б.В., Найденов С.В., Яновский В.В. О спектрометрических закономерностях светособирания в сцинтилляционных детекторах // Доповіді НАН України. - 2003. - № 4. - С. 88-95.

21. Naydenov S.V., Tur A.V., Yanovsky A.V., Yanovsky V.V. Stability of dynamical systems with discontinuties // Functional Materials. - 2003. - Vol. 10, No. 1. - P. 14-16.

22. Gavrylyuk V., Gal'chinetskii L., Katrunov K., Naydenov S., Ryzhikov V., Starzhinskiy N., Yanovsky V. On the use of chaotic billiard geometry to improve the light output of a scintillator // Functional Materials. - 2003. - Vol. 10, No. 4. - P. 744-746.

23. Naydenov S.V., Tur A.V., Yanovsky A.V., Yanovsky V.V. New scenario to chaos transition in the mappings with discontinuities // Phys. Lett. A. - 2003. - Vol. 320, issues 2-3. - P. 160-168.

24. Naydenov S.V., Ryzhikov V.D., Smith C.F. Direct reconstruction of the effective atomic number of materials by the method of multi-energy radiography // Nucl. Instrum. and Meth. B. - 2004. - Vol. B215. - P. 552-560.

25. Bar’yahtar V.G., Yanovsky V.V., Naydenov S.V., Kurilo A.V. Mechanisms of ray chaotization in composite detectors // Functional Materials. - 2004. - Vol. 11, No. 4. - P. 648-660.

26. Найденов С.В. Влияние детерминированного хаоса на светосбор в оптических системах // Журнал Технической Физики. - 2004. - Т. 74, вып. 8. - С. 136-139.

27. Naydenov S.V., Maslovsky Yu.N., Yanovsky V.V. Polymorphous billiard with chaotic beams dynamics // Functional Materials. - 2006. - Vol. 13. - P. 280-282.

28. Баръяхтар В.Г., Яновский В.В., Найденов С.В., Курило А.В. Хаос в композитных биллиардах // ЖЭТФ. - 2006. - Т. 130, № 2. - С. 335-346.

29. Яновский В.В., Найденов С.В., Курило А.В. Хаотические режимы асимметричного кольцевого биллиарда с отражением и преломлением лучей // Прикладная нелинейная динамика. - 2007. - Т. 15, вып. 1. - С. 42-60.

30. Naydenov S.V., Yanovsky V.V. Geometric models of statistic physics: billiard in symmetric phase space // Problems of Atomic Science and Technology. - 2001. - № 6 (2). - P. 218-222.

31. Katrunov K., Naydenov S., Ryzhikov V., Starzhinskiy N., Gal’chinetskii L., Gavril’uk V., Yanovsky V. On the optimum geometric shapes of ZnSe-based scintillation elements // Problems of Atomic Science and Technology. - 2004. - Vol. 43, № 2. - P. 174-176.

32. Naydenov S.V., Ryzhikov V.D. Theoretical analysis of physical limits of energy resolution for detectors of scintillator-photodiode type and ways to improve their spectrometric characteristics // Proc. SPIE. - 2004. - Vol. 5198. - P. 261-270.

33. Naydenov S.V., Ryzhikov V.D. Spectrometric universality and reduction of non-statistical noises in detectors with regular light collection // Proc. SPIE. - 2004. - Vol. 5540. - P. 241-247.

34. Naydenov S.V. Spectrometric properties of detectors with regular and chaotic light collection and improvement of its intrinsic energy resolution // Nucl. Instrum. and Meth. A. - 2005. - Vol. A537. - P. 397-401.

35. Ryzhikov V.D., Naydenov S.V., Opolonin O.D., Kozin D.N., Lisetsaya E.K., Danilenko V.L. Studies of two-energy linear detector matrix for X-ray osteodensitometry // Biomedical Engineering. - 2005. - Vol. 39, No. 2. - P. 65-68.

36. Naydenov S.V., Ryzhikov V.D., Smith C.F., Wood D., Kostioukevitch S., Lisetska E. Multi-energy ZnSe-based radiography against terrorism: theory and experiments // Proc. of SPIE. - 2006. - Vol. 6319. - P. 63191A-1-8.

37. Grinyov B., Ryzhikov V., Lecoq P., Naydenov S., Opolonin A., Lisetskaya E., Galkin S., Shumeiko N. Dual-energy radiography of bone tissues using ZnSe-based scintielectronic detectors // NIM A. - 2006. - Vol. A571. - P. 399-403.

38. Naydenov S.V., Maslovsky Yu.N., Yanovsky V.V. Polymorphous billiard as a new type of billiards with chaotic ray dynamics // Problems of Atomic Science and Technology. - 2007. - № 3 (2). - P. 285-288.