Анотація до роботи:

Даниленко О.І. Траєкторний підхід і (C, F)-конструкція в ергодичній теорії. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 - математичний аналіз. Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України, Харків, 2008.

Отримано опис гомотопічної структури повних груп ергодичних перетворень та їх нормалізаторів, знаряджених природними польськими топологіями. Обчислено інваріант Даджані для залишкової множини Н-коциклів. Доведено, що несингулярні перетворення Чакона з роботи Хамачі-Сільви є слабко перемішувальними. Побудовано низку прикладів абелевих дій типу і з «некласичними» властивостями слабкого перемішування і кратної рекурентності. Теорема Смородинського-Тувено про три бернулівських фактора узагальнена на дії зліченних аменабельних груп. Побудовані явні приклади ергодичних перетворень з однорідним спектром довільної кратності. Розвинута теорія приблизно простих дій. Наведено приклад квазіпростого перетворення, який є диз’юнктним з

-31-

усіма простими. Для зліченних прямих сум скінченних груп побудовано незліченну родину попарно диз’юнктних перемішувальних дій рангу один зі властивістю приблизно MSJ. Для ко-компактних підгруп в побудовано конкретні (нестохастичні) перемішувальні

дій рангу один.

В дисертації запропоновано систематичне впровадження траєкторних методів для вирішення актуальних проблем ергодичної теорії, які, на перший погляд, не мають прямого відношення до траєкторної теорії. Побудована ентропійна теорія для коциклів Рохліна гіперфінітних відношень еквівалентності. Вона використана для доведення наступних тверджень: умовної версії теореми Крігера про існування скінченних генераторів, узагальнення теореми Смородинського-Тувено про існування 3 бернулівських факторів, що вичерпують всю -алгебру, на дії аменабельних груп та ін. Встановлено існування некоалесцентних та стисканих локально компактних ергодичних розширень динамічних систем. Доведена стягуваність ергодичних повних груп різних типів Крігера, а у випадку, коли ці групи є гіперфінітними, описана гомотопічна структура їх нормалізаторів в звичайних польських топологіях. Обчислено інваріант Даджані для типових (за Бером) коциклів зі значеннями в локально компактних групових розширеннях з фіксованою рекурентною проекцією. В дисертації також розроблена абстрактна (алгебраїчна) конструкція дій дивного рангу один для довільних локально компактних польських груп, так звана (С,F)-конструкція. Вона (вперше з’явилася в роботі дель Хунко в 1998) є узагальненням добре відомої в ергодичній теорії геометричної процедури розрізання-та-стиковки. (С,F)-конструкція використана для побудови низки прикладів перетворень, а також групових дій з нескінченною інваріантною мірою (а також типу ІІІ), що мають незвичайні (тобто неможливі у класичному випадку скінченної інваріантної міри) властивості слабкого перемішування і кратної, а також поліноміальної рекурентності. Одержано відповідь на запитання Хамачі-Сільви: несингулярні перетворення Чакона з їх роботи є степенево слабко перемішуючими. Знайдено необхідні і достатні умови для строгої орбітальної еквівалентності локально компактних некомпактних мінімальних систем Кантора та побудовано приклади таких систем. Одержано конструктивну відповідь на питання Рохліна: чи існують ергодичні перетворення з однорідним спектром довільної кратності? Введено концепцію приблизно простих дій. Розроблена відповідна теорія, що узагальнює теорію простих дій. Вона застосовується для побудови квазіпростого перетворення, яке є диз’юнктним з усіма простими. Це відповідає на запитання Тувено,

-28-

дель Хунко і Леманьчика. Для зліченних груп, які є прямими сумами скінчених груп, побудовано (стохастичними методами) незліченні родини попарно диз’юнктних перемішувальних дій рангу один. Доведено, що ці дії мають властивість приблизно MSJ. Запропоновано явні (не стохастичні) конструкції перемішу вальних дій рангу один для ко-компактних підгруп в .

Публікації автора:

[1] A. I. Danilenko. On cocycles compatible with normalizers of full groups of measure space transformations // Dop. Nats. Akad. Nauk Ukr. 1994. No 7. P. 14-17 .

[2] A. I. Danilenko. The topological structure of Polish groups and groupoids of measure space transformations // Publ. RIMS Kyoto Univ. 1995. V. 31. P. 913-940.

[3] A. I. Danilenko and V. Ya. Golodets. On extension of cocycles to normalizer elements, outer conjugacy and related problems // Trans. Amer. Math. Soc. 1996. V. 348. P. 4857-4882.

[4] A. I. Danilenko. Comparison of cocycles of measured equivalence relations and lifting problems // Ergod. Th. & Dyn. Syst. 1998. V. 18. P. 125-151.

[5] A. I. Danilenko. On non-coalescent ergodic skew products and semigroups of their commutors // Dop. Nats. Akad. Nauk Ukr. 1998. No 9. P. 17-21.

[6] A. I. Danilenko. Quasinormal subrelations of ergodic equivalrence relations // Proc. Amer. Math. Soc. 1998 V. 126. P. 3361-3370.

[7] A. I. Danilenko. Endomorphisms of measured equivalence relations, cocycles with values in non locally compact groups and applications // Ergod. Th. & Dyn. Syst. 1999. V.19. P. 571—590.

[8] A. I. Danilenko and M. Lemanczyk. Isometric extensions, 2-cocycles and ergodicity of

-29-

skew products // Studia Math. 1999. V. 137. P. 123-142.

[9] A. I. Danilenko. On subrelations of ergodic measured type III equivalence relations // Colloq. Math. 2000. V. 84/85. P. 13-22.

[10] A. I. Danilenko and T. Hamachi. On measure theoretical analogues of the Takesaki structure theorem for type III factors // Colloq. Math. 2000. V.84/85. P. 485-493.

[11] A. I. Danilenko. On cocycles with values in group extensions. Generic results // Matemat. Fizika, Analiz, Geometriya. 2000. V. 7. P. 153-171.

[12] A. I. Danilenko. Strong orbit equivalence of locally compact Cantor minimal systems // Internat. J. Math. 2001. V. 12. P. 113-123.

[13] A. I. Danilenko. Funny rank-one weak mixing for nonsingular Abelian actions // Isr. J. Math. 2001. V. 121. P. 29-54.

[14] A. I. Danilenko. Entropy theory from orbital point of view // Monatsh. Math. 2001. V.134. P. 121-141.

[15] A. I. Danilenko and K. K. Park. Generators and Bernoullian factors for amenable actions and cocycles on their orbits // Ergod. Th. & Dyn. Syst. 2002. V. 22. P. 1715-1745.

[16] A. I. Danilenko and C. E. Silva. Multiple and polynomial recurrence for abelian actions in infinite measure // J. London Math. Soc. 2004. V. 69. P. 183-200.

[17] A. I. Danilenko. Infinite rank one actions and nonsingular Chacon transformations // Illinois J. Math. 2004. V. 48. P. 769-786.

[18] A. I. Danilenko and M. Lemanczyk. A class of multipliers for // Isr. J. Math. 2005. V. 148. P. 137-168.

-30-

[19] A. I. Danilenko. Explicit solution of Rokhlin's problem on homogeneous spectrum and applications // Ergod. Th. & Dyn. Syst. 2006. V. 26. P. 1467-1490.

[20] A. I. Danilenko. Mixing rank-one actions for infinite sums of finite groups // Isr. J. Math. 2006. V. 156. P. 341-358.

[21] A. I. Danilenko and C. E. Silva. Mixing rank-one actions of locally compact Abelian groups // Ann. Inst. H. Poincare, Probab. Statist. 2007. V. 43. P. 375-398.

[22] A. I. Danilenko. On simplicity concepts for ergodic actions // J. d'Anal. Math. 2007. V. 102. P. 77-118.

[23] A. I. Danilenko. (C,F)-actions in ergodic theory // Progr. in Math. 2007. V. 265. P. 325-351.