Анотація до роботи:

Сінчук Ю.О. Адаптивні схеми методу скінченних елементів для сингулярно збурених варіаційних задач конвекції-дифузії. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.02 – математичне моделювання та обчислювальні методи. – Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України, Львів, 2008.

Дисертаційна робота присвячена розвитку і дослідженню схем МСЕ для сингулярно збурених задач конвекції-дифузії. Для одновимірної крайової задачі конвекції-дифузії побудовано схему з кусково-показниковими базисними функціями, встановлено достатню умову стійкості цієї схеми, апріорні оцінки швидкості збіжності та оптимальний вибір основи показникових функцій. Розроблено експоненціальну однокрокову рекурентну схему інтегрування в часі початково-крайових задач для рівнянь параболічного типу. Запропоновано спосіб зведення варіаційної задачі конвекції-дифузії до еквівалентної задачі мінімізації квадратичного функціоналу шляхом вибору простору тестових функції методу Петрова-Гальоркіна. Розроблено простий для програмної реалізації алгоритм генерування близьких до рівномірних тріангуляцій двовимірних областей. Запропоновано способи побудови апостеріорних оцінювачів похибки МСЕ на основі розв’язання одно- та двовимірних локальних задач на похибку. На основі запропонованих оцінювачів реалізовано h-адаптивну схему МСЕ з використанням стійких експоненціальних апроксимацій. Розроблено відповідне програмне забезпечення та проведено ряд числових експериментів, які демонструють ефективність запропонованих методів.

Синчук Ю.А. Адаптивные схемы метода конечных элементов для сингулярно возмущенных вариационных задач конвекции-диффузии. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.05.02 – математическое моделирование и вычислительные методы. – Институт прикладных проблем механики и математики им. Я. С. Под-стригача НАН Украины, Львов, 2008.

Диссертационная работа посвящена построению и обоснованию численных схем для решения сингулярно возмущенных задач конвекции-диффузии.

В первой главе сделан обзор существующих конечноэлементных и разностных схем для задач конвекции-диффузии, а также известных типов апостериорных оценок погрешностей конечноэлементных аппроксимаций. На примере одномерной задачи с постоянными коэффициентами показана связь между разностной схемой Ильина-Аллена-Саусвелла и другими популярными методами.

Во второй главе построенно показательные аппроксимации МКЭ, с помощью которых полученно устойчивые приближения решения для одномерных задач конвекции-диффузии. Исследованы свойства кусочно-показательных базисных функций и структуры дискретных уравнений Галеркина. Выполнен анализ устойчивости и сходимости аппроксимаций.

В третьей главе предложена экспоненциальная одношаговая рекуррентная схема для дискретизации по времени нестационарной задачи конвекции-диффузии. Для частичного случая установлена принципиальная возможность такой схемы точно воспроизводить узловые значения искомого решения, показана ее безусловная устойчивость, и построены оценки скорости сходимости. Проведено сравнение свойств экспоненциальной ОРС и схемы Кранка-Николсона. Выполненный анализ дополнен результатами вычислительных экспериментов для сингулярно возмущенных задач.

В четвертой главе для двумерной сингулярно возмущенной задачи с уравнением конвекции-диффузии предложена схема метода конечных элементов с экспоненциальными весовыми функциями. Рассмотрены свойства данных аппроксимаций и построены системы уравнений процедуры Петрова-Галеркина. Приведены результаты численных экспериментов для анализа сходимости предложенной схемы. А также разработан простой для программной реализации алгоритм для генерации близких к равномерным триангуляций двумерных областей. Были предложены методы повышения качества сеток путем сглаживания.

В пятой главе построены апостериорные оценки погрешностей аппроксимации метода конечных элементов для одно- и двумерных задач конвекции-диффузии. В основе предложенных оценок лежат решения локальной задачи с использованием экспоненциальных аппроксимаций. Приведены сравнения предложенных оценок с АОП, построенными с использованием полиномиальных аппроксимаций, и точной погрешностью. Построена схема h-адаптации на основе метода Петрова-Галеркина с экспоненциальными весовыми функциями, которая использует предложенные апостериорные оценки для контроля точности.

Для каждой главы разработано соответствующее программное обеспечение и проведен ряд вычислительных экспериментов, которые демонстрируют эффективность предложенных методов.

Ключевые слова: задача конвекции-диффузии, сингулярно возмущенная задача, метод конечных элементов, метод Петрова-Галеркина, экспоненциальная аппроксимация, h-адаптивная схема, апостериорная оценка погрешности, триангуляция области.

Підписано до друку 17.09.2008р.

Формат 6090/16. Папір офсетний.

Друк на різографі. Умовн. друк. арк. 0.9.

Тираж 100 прим. Зам. №______

Надруковано у видавничому центрі

Львівського національного університету імені Івана Франка

В даній роботі на основі методу Петрова-Гальоркіна та експоненціальних базисів для просторів апроксимацій та/або просторів тестових функцій МСЕ побудовано і досліджено стабілізовані та адаптивні числові схеми розв’язування cингулярно збурених задач конвекції-дифузії. Всі теоретичні положення та висновки стосовно стійкості, збіжності та надійності пропонованих схем МСЕ підтверджено результатами числових експериментів із застосуванням оригінального програмного забезпечення, яке може бути використане для комп’ютерного аналізу одно- та двовимірних процесів конвекції-дифузії.

Основні результати, які розширюють можливості ефективного застосування МСЕ до сингулярно збурених задач конвекції-дифузії, є такими:

1. Для одновимірної крайової задачі конвекції-дифузії побудовано схему МСЕ з кусково-показниковими базисними функціями. Встановлено достатню умову стійкості цієї схеми, апріорні оцінки її швидкості збіжності і оптимальний вибір основи показникових функцій.

2. Розроблено експоненціальну однокрокову рекурентну схему інтегрування в часі початково-крайових задач для рівнянь параболічного типу. Виконано аналіз її стійкості і збіжності та на модельних прикладах порівняно характер її поведінки зі схемою Кранка-Ніколсона.

3. Із використанням методу Петрова-Гальоркіна запропоновано спосіб зведення варіаційної задачі конвекції-дифузії до еквівалентної задачі мінімізації квадратичного функціоналу, створивши цим самим умови для обчислення найкращих наближень у вибраних просторах апроксимацій. За допомогою належного масштабування тестових функцій побудовано схему МСЕ, яка дає стійкі наближення розв'язку двовимірної задачі конвекції-дифузії з великими числами Пекле. Ефективність запропонованої схеми перевірено на ряді тестових прикладів.

4. Розроблено простий у програмній реалізації алгоритм генерування і підвищення якості близьких до рівномірних тріангуляцій полігональних областей довільної геометрії, а також програмно реалізовано алгоритм Рапперта для побудови і згущення тріангуляцій Делоне.

5. Для одновимірних задач конвекції-дифузії побудовано апостеріорний оцінювач похибки, який у випадку сталих коефіцієнтів відтворює точні значення похибок МСЕ у центрах скінченних елементів. Для двовимірних задач високоточний оцінювач похибки апроксимації МСЕ сконструйовано на кожному скінченному елементі як лінійну комбінацію функцій із нуль-простору оператора конвекції-дифузії.

6. З огляду на запропоновані схеми Петрова-Гальоркіна з експоненціальними вагами, апостеріорні оцінювачі похибок та алгоритм згущення сіток Рапперта створено h-адаптивну схему МСЕ, яка дозволяє обчислювати її апроксимації із наперед заданою точністю. Низкою обчислювальних експериментів продемонстровано ефективність запропонованої методики розв’язування сингулярно збурених задач.

Публікації автора:

1. Сінчук Ю. О. Експоненціальні апроксимації МСЕ для сингулярно збурених задач конвекції-дифузії-реакції / Ю. О. Сінчук, Г. А. Шинкаренко // Вісник Львів. ун-ту. Сер. прикл. матем. інформ. – 2007. – Вип. 12. – С. 112–121.

2. Сінчук Ю. О. Експоненціальна дискретизація задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь / Ю.О. Сінчук, Г.А. Шинкаренко // Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології. – 2007. – Вип. 6. – C. 91–100.

3. Сінчук Ю. О. Апроксимації методу скінченних елементів з експоненціальними ваговими функціями / Ю. О. Сінчук, Г. А. Шинкаренко // Прикл. проблеми мех. матем. – 2007. – Вип. 5. – С. 61–70.

4. Сінчук Ю. О. Адаптивна схема методу скінченних елементів для сингулярно збурених задач конвекції-дифузії / Ю. О. Сінчук // Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології. – 2008. – Вип. 7. – C. 95–102.

5. Білик А. Метод Петрова-Гальоркіна для крайових задач конвекції-дифузії-реакції /А. Білик, Ю. Сінчук, Г. Шинкаренко // Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики : Тези 14-ї Всеукр. наук. конф. – Львів, 2007. – С. 29–30.

6. Сінчук Ю. О. Чисельне розв'язування початково-крайових задач для нелінійних параболічних рівнянь / Ю. О. Сінчук // Шоста Всеукраїнська (перша міжнародна) студентська наукова конференція з прикладної математики та інформатики : Тези доповідей. – Львів, 2003. – С. 30–31.

7. Сінчук Ю. О. Апостеріорний оцінювач похибки та технологія адаптування сітки скінченних елементів для задач конвекції-дифузії / Ю. О. Сінчук // Сьома Всеукраїнська (друга міжнародна) студентська наукова конференція з прикладної математики та інформатики : Тези доповідей. – Львів, 2004. – С. 119–120.

8. Сінчук Ю. О. Застосування адаптивної схеми методу скінченних елементів для розв'язання стаціонарної задачі конвекції-дифузії / Ю. О. Сінчук // Тези доповід. конф. молодих учених із сучасних проблем механіки і математики ім. акад. Я. С. Підстригача. – Львів, 2005. – C. 163-164.

9. Сінчук Ю. О. МСЕ для задач конвекції-дифузії з експоненціальними базисними функціями / Ю. О. Сінчук // Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики : Тези 12-ї Всеукр. наук. конф. – Львів, 2005. – С. 139–140.

10. Сінчук Ю. О. Технологія h-адаптування кусково-лінійних апроксимацій методу скінченних елементів для задач конвекції-дифузії / Ю. О. Сінчук, Г. А. Шинкаренко // Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики : Тези 11-ї Всеукр. наук. конф. – Львів, 2004. – С. 122.

11. Сінчук Ю. О. Чисельне розв'язування початково-крайових задач біологічної самоорганізації / Ю.О. Сінчук, Г. А. Шинкаренко // Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики : Тези 10-ї Всеукр. наук. конф. – Львів, 2003. – С. 35.

12. Сінчук Ю. О. Експоненційні апроксимації методу скінченних елементів для сингулярно збурених крайових задач / Ю. О. Сінчук, Г. А. Шинкаренко // Диференціальні рівняння та їх застосування : Тези доп. міжнар. наук. конф. – Чернівці, 2006. – С. 151.

13. Сінчук Ю. О. Розв'язування двовимірних крайових задач конвекції-дифузії з використанням експоненційних апроксимацій МСЕ / Ю. О. Сінчук, Г. А. Шинкаренко // International Conference “Dynamical Systems Modelling And Stability Investigation” : Thesis of conference reports. – Kyiv, 2007. – P. 327.

14. Сінчук Ю. О. Адаптивний метод скінченних елементів для двовимірних задач конвекції-дифузії / Ю. О. Сінчук, Г. А. Шинкаренко // Сучасні проблеми механіки та математики : Зб. виступів на міжнар. наук. конф. Т. 3. – Львів. – 2008. – С. 49–51.

15. Sinchuk Y. One-step exponential fitted scheme for the Cauchy problem / Sinchuk Y., Synkarenko G. // International Conference Modern Analysis and Applications (Odessa, 2007) : Book of abstracts. – Kyiv, 2007. – P. 127.