Анотація до роботи:

Бондаренко Н.В. Алгебри Лі, асоційовані з силовськими p-підгрупами скінченних симетричних груп. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.06 – алгебра і теорія чисел. – Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2006.

Дисертаційна робота присвячена вивченню алгебр Лі, асоційованих з силовськими p-підгрупами скінченних симетричних груп. Побудовано табличне зображення L_m алгебри Лі, асоційованої з нижнім центральним рядом силовської p-підгрупи симетричної групи степеня p^m, m N. На алгебру Лі L_m перенесено ряд технічних понять, визначених Л.А. Калужніним для силовської p-підгрупи симетричної групи степеня p^m, основними з яких є поняття висоти редукованого многочлена, характеристики таблиці і паралелотопічної підалгебри. В термінах характеристик описано нижній та верхній центральні ряди, ряд комутантів та eнгелевий ряд алгебри Лі L_m.

Введено до розгляду конструкцію вінцевого добутку L i A_n довільної алгебри Лі L з n-вимірною абелевою алгеброю Лі A_n над полем F_p виходячи з класичного поняття напівпрямого добутку алгебр Лі. Доведено, що алгебра Лі L_m ізоморфна m-кратному вінцевому добутку одновимірних алгебр Лі. Описано алгебри Лі, асоційовані з силовськими p-підгрупами скінченних симетричних груп S_n, n N, в термінах вінцевих добутків одновимірних алгебр Лі.

Показано, що алгебра Лі L_m занурюється в алгебру Лі верхніх 0-трикутних матриць порядку p^m-1+1 і не може бути занурена в алгебру Лі верхніх 0-трикутних матриць меншого порядку. Побудовано занурення алгебри Лі верхніх 0-трикутних матриць, порядку m над полем F_p, в алгебру Лі L_m-1.

В дисертаційній роботі досліджуються алгебри Лі, асоційовані з силовськими p-підгрупами скінченних симетричних груп.

Введено до розгляду новий клас алгебр Лі L_m, m N, над полем F_p, елементами яких є так звані трикутні таблиці редукованих многочленів над F_p. Доведено, що алгебра Лі, асоційована з силовською p-підгрупою симетричної групи степеня p^m, m N, ізоморфна алгебрі Лі L_m, m N. Таке табличне зображення дозволило перенести на алгебру Лі, асоційовану з силовською p-підгрупою симетричної групи , ряд технічних понять, визначених Л.А. Калужніним для силовских p-підгруп симетричних груп степеня p^m, основними з яких є поняття висоти редукованого многочлена, характеристики таблиці і паралелотопічної підалгебри. Визначені необхідні і достатні умови, коли паралелотопічна підалгебра є ідеалом. Описано верхній та нижній центральні ряди, ряд комутантів та енгелевий ряд алгебр Лі, асоційованих з силовськими p-підгрупами симетричних груп степеня p^m, m N, а саме показано, що члени цих рядів є паралелотопічними підалгебрами та знайдено їх характеристики.

Введено до розгляду конструкцію вінцевого добутку L i A_n довільної алгебри Лі L з n-вимірною абелевою алгеброю Лі A_n над полем F_p виходячи з класичного поняття напівпрямого добутку алгебр Лі. Досліджено ряд основних властивостей вінцевого добутку L i A_n. Зокрема, встановлено, що коли алгебра Лі L є нільпотентною класу l, то алгебра Лі L i A_n є нільпотентною класу ld, де d=n(p-1)+1. Крім того, коли L - розв'язна алгебра Лі ступеня l, то L i A_n є розв'язною алгеброю Лі ступеня l+1. Доведено, що алгебра Лі L_m ізоморфна m-кратному вінцевому добутку одновимірних алгебр Лі. Охарактеризовано алгебри Лі, асоційовані з силовськими p-підгрупами скінченних симетричних груп S_n, n N, в термінах вінцевих добутків одновимірних алгебр Лі.

Показано, що алгебра Лі L_m занурюється в алгебру Лі верхніх 0-трикутних матриць порядку p^m-1+1 над полем F_p і не може бути занурена в алгебру Лі верхніх 0-трикутних матриць меншого порядку. Побудовано занурення алгебри Лі верхніх 0-трикутних матриць, порядку m над полем F_p, в алгебру Лі L_m-1.

Запропонована в дисертаційній роботі методика може бути застосована при дослідженні алгебр Лі, асоційованих з різними типами p-груп та про-p-груп, групами автоморфізмів однорідних кореневих дерев. Розроблена конструкція вінцевого добутку може бути використана при класифікації різноманітних алгебр Лі.

Автор висловлює щиру подяку професору Віталію Івановичу Сущанському та науковому керівнику Олійнику Андрію Степановичу за постановку задач, постійну увагу і підтримку в роботі.

Публікації автора:

1. Sushchansky V.I., Netreba N.V. Wreath product of Lie algebras and Lie algebras associated with Sylow p-subgroups of finite symmetric groups // Algebra and Discrete Mathematics. – 2005. – № 1. – P. 122–132.

2. Сущанский В.И., Нетреба Н.В. Алгебры Ли, ассоциированные с силовскими p-подгруппами конечных симметрических групп // Математичні Студії. – 2005. – Т. 24. – С. 127–138.

3. Нетреба Н.В. Енгелеві ряди алгебр Лі асоційованих з силовськими p-підгрупами скінченних симетричних груп // Вiсник Київського університету. Серія: фізико-математичні науки. – 2005. – Вип. 4. – С. 47–51.

4. Бондаренко Н.В. Алгебри Лі асоційовані з силовськими p-підгрупами деяких класичних лінійних груп // Вiсник Київського університету. Серія: фізико-математичні науки. – 2006. – Вип. 2. – С. 21–27.

5. Netreba N.V., Sushchansky V.I. Lie algebras associated with Sylow p-subgroups of finite symmetric groups // 5th International Algebraic Conference in Ukraine (July 20-27, 2005). – Odessa, 2005. – P. 142.

6. Netreba N.V., Sushchansky V.I. Wreath product of Lie algebras and Lie algebras associated with Sylow p-subgroups of finite symmetric groups // Международная алгебраическая конференция “Классы групп и алгебр” (5-7 октября 2005 г.). – Гомель, Беларусь, 2005. – P. 20–21.

7. Бондаренко Н.В. Алгебри Лі нуль-трикутних матриць та алгебри Лі асоційовані з силовськими p-підгрупами скінченних симетричних груп // Одинадцята міжнародна наукова конференція імені академіка М. Кравчука (18-20 травня 2006 р.). – Київ, 2006. – С. 338.