Анотація до роботи:

Чичурін А. В. Аналітичні дослідження нелінійних диференціальних рівнянь другого і третього порядків. – Рукопис. – Дисертацiя на здобуття наукового ступеня доктора фiзико-математичних наук за спецiальнiстю 01.01.02 – диференцiальнi рівняння. – Київський нацiональний унiверситет iменi Тараса Шевченка, Київ, 2004.

Знайдено розв’язки системи Шазі і побудовано нові класи рівнянь третього порядку P-типу. Для отриманих рівнянь зі сталими коефіцієнтами і D=0 побудовано розв’язок у вигляді степеневих рядів і наведено редукцію до ЛДР 2-го порядку з шістьма особливими точками, для якого проведено дослідження, а також вказано систему умов, що визначає однопараметричні сім’ї розв’язків. Вказано також систему коефіцієнтних умов, за яких нелінійні НЛДР 3-го порядку Р-типу мають двохпараметричну сім’ю розв’язків, яка визначається як розв’язок спеціально НЛДР 2-го порядку. Вивчено зв’язок між НЛДР 2-го порядку спеціального вигляду і ЛДР 3-го порядку. Отримано нові умови інтегровності в замкненій формі для ЛДР 3-го порядку. Розроблено і реалізовано в середовищі СКА “Mathematica” алгоритми для побудови розв’язків вказаних вище задач.

В дисертаційній роботі проведено систематичне дослідження системи Шазі (S), побудовано нові нелінійні диференціальні рівняння третього порядку Р-типу, розглянуто класи лінійних диференціальних рівнянь, які допускають редукцію до рівнянь Р-типу. Проведено дослідження рівняння Абеля першого і другого роду та отримано нові результати для третього, п’ятого і шостого рівнянь Пенлеве.

При цьому отримано такі результати:

1. Розроблено єдиний підхід до пошуку розв’язків системи Шазі (S) і знайдено функції Шазі . Знайдено функції Шазі, які дозволяють побудувати три класи рівнянь Шазі Р-типу зі сталими коефіцієнтами і чотири класи рівнянь Шазі Р-типу, коли коефіцієнти є змінними величинами. Отримано необхідну умову для функцій . Знайдено редукцію, за допомогою якої вдається проінтегрувати рівняння Шазі зі сталими коефіцієнтами , коли . Для рівнянь Шазі побудовано класи однопараметричних сімейств розв’язків, які є загальними розв’язками рівняння Ріккаті (у випадку сталих коефіцієнтів ) та двохпараметричні сім’ї розв’язків, які є загальним розв’язком деяких нелінійних диференціальних рівнянь другого порядку спеціального вигляду. Ці результати представлено в працях [1, 9, 11-13, 16, 18, 19, 21, 22, 29, 34, 39, 46, 49, 53, 55, 56].

2. Отримано нові умови інтегровності рівняння Абеля. Для спеціального нелінійного диференціального рівняння другого порядку побудовано еквівалентну систему двох диференціальних рівнянь і доведено існування двох однопараметричних сімей розв’язків у вигляді загальних розв’язків рівняння Абеля. Ці результати представлено в працях [2, 6, 17, 24, 27, 28, 31, 35, 37, 43, 44, 50, 54].

3. Знайдено нові класи лінійних рівнянь третього порядку, інтегровні в квадратурах і пов’язані з нелінійними диференціальними рівняннями другого порядку. Наведено редукцію для лінійного рівняння третього порядку з трьома особливими точками до XXV рівняння Пенлеве в класифікації Айнса. Метод, що використовується для дослідження лінійних рівнянь третього порядку, узагальнено для випадку рівнянь четвертого порядку, що дозволило знайти двохпараметричні сім’ї розв’язків таких рівнянь у вигляді дробово раціональних функцій. Ці результати представлено в працях [1, 2, 7, 14, 15, 20, 23, 26, 33, 40, 42, 47].

4. Побудовано системи двох диференціальних рівнянь, еквівалентні рівнянням Пенлеве і . Для рівнянь і розроблено метод побудови нових розв’язків, при умові, що ці рівняння мають однопараметричні сім’ї розв’язків, які є загальним розв’язком рівняння Ріккаті. Наведено редукції спеціальних систем, часткові випадки яких еквівалентні рівнянням і , до нелінійного диференціального рівняння другого порядку. Ці результати представлено в працях [3, 4, 30, 36, 45, 48, 51, 52].