Анотація до роботи:

Анотація. Булацик О. О. Аналітико-числове розв’язування одного класу нелінійних задач з вільною фазою. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.02 – математичне моделювання та обчислювальні методи. – Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України, Львів, 2004.

У роботі розвинуто аналітико-числовий підхід до розв’язування класу нелінійних інтегральних рівнянь типу Гаммерштейна, які виникають в математичних моделях оптимізації радіотехнічних та оптичних систем. Встановлено, що розв’язки таких рівнянь породжуються поліномами скінченого степеня. Розроблено методику знаходження всіх розв’язків згаданих рівнянь і дослідження процесу їх галуження. Отримані системи трансцендентних рівнянь на визначення всіх точок галуження. Розроблено алгоритм і комплекс програм для знаходження та повного дослідження всіх розв’язків рівнянь вказаного типу. Досліджено природу точок біфуркації типу появи і зникнення розв’язків та їх перетворення. Методика дослідження загального інтегрального рівняння, що розглядається, застосована до конкретних рівнянь, які виникають в теорії синтезу антен за заданою амплітудною діаграмою напрямленості та оптимізації передаючих ліній. Чисельно встановлено, що оптимальними є розв’язки з найбільшим степенем породжуючого полінома.

Ключові слова: задача з вільною фазою, нелінійне інтегральне рівняння типу Гаммерштейна, аналітико-числові методи, точка галуження, перетворення Фур’є, система трансцендентних рівнянь.

Дисертаційна робота присвячена вирішенню наукового завдання – розвинути аналітико-числовий підхід до розв’язування класу нелінійних інтегральних рівнянь типу Гаммерштейна, які виникають в математичних моделях оптимізації радіотехнічних та оптичних систем.

У роботі отримано такі основні результати:

1. Знайдено аналітичні розв’язки нелінійного інтегрального рівняння типу Гаммерштейна, яке узагальнює відомі рівняння для задач з вільною фазою, що виникають при оптимізації та синтезі радіотехнічних і оптичних систем. Ці розв’язки породжуються поліномами скінченого степеня. Встановлено верхню оцінку степеня породжуючих поліномів. Доведено теорему про можливість заміни одного чи декількох нулів цих поліномів на комплексно-спряжені.

2. Розроблено методику знаходження всіх розв’язків згаданих рівнянь і дослідження процесу їх галуження. Отримано системи трансцендентних рівнянь на визначення точок галуження.

3. Розроблено алгоритм і комплекс програм для знаходження та повного дослідження всіх розв’язків рівнянь вказаного типу.

4. Встановлено існування точок появи та зникнення розв’язків рівнянь із вибраного класу та досліджено природу їх перетворення.

5. Методика дослідження загального інтегрального рівняння типу Гаммерштейна застосована до конкретних рівнянь, які виникають в теорії синтезу та оптимізації радіотехнічних та оптичних систем.

6. В результаті числових експериментів для конкретних задач оптимізації висловлено гіпотезу, що оптимальними є розв’язки з максимальним степенем породжуючих поліномів.

Публікації автора:

1. Булацик O. O., Войтович М. М. Аналітичне представлення розв’язків нелінійного інтегрального рівняння задачі наближення фінітних функцій з вільною фазою функціями з фінітним дискретним спектром // Мат. методи та фіз. - мех. поля. – 2001. – 44, № 2. – С. 70–78.

2. Булацик O. O., Гісь O. M., Войтович М. М. Галуження розв’язків нелінійних рівнянь, що виникають в модифікованій фазовій проблемі // Мат. методи та фіз. - мех. поля. – 2002. – 45, № 2. – С. 64–74.

3. Булацик О. О., Войтович М. М. Аналітичні розв’язки одного класу нелінійних інтегральних рівнянь, пов’язаних з модифікованою фазовою проблемою // Відбір і обробка інформ. – 2003. – Вип. 19 (95). – С. 33–40.

4. Булацик O. O. Дослідження галужень розв’язків нелінійного інтегрального рівняння модифікованої фазової проблеми у випадку дискретного перетворення Фур’є // Вісник Львів. ун-ту. Сер. прикл. матем. інформ. – 2003. – Вип. 7. – С. 20–32.

5. Voitovich N. N., Topolyuk Yu. P., Reshnyak O. O. Approximation of compactly supported functions with free phase by functions with bounded spectrum // Fields Institute Communications. AMS. – 2000. – 25. – P. 531–541.

6. Voitovich N. N., Topolyuk Yu. P., Reshnyak O. O., Jarkowski J. New closed solution of the linear antenna synthesis problem according to amplitude radiation pattern // 12-th International Conference on Microwave & Radar, Krakow, Poland, May 20-22, 1998: Proc. – Krakow, 1998. – 2. – P. 304–308.

7. Voitovich N. N., Gis O. M., Reshnyak O. O., Topolyuk Yu. P. New rigorous solution of some antenna synthesis problems according to prescribed amplitude radiation pattern // Intern. Conf. on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory, Kharkov, Ukraine, June 2-5, 1998: Proc. – Kharkov, 1998. – 2. – P. 133–135.

8. Войтович М. М., Решняк О. О., Тополюк Ю. П. Аналітичний розв’язок узагальненої фазової проблеми для фінітних функцій // Сучасні проблеми механіки і математики. – Львів, 1998. – С. 241–242.

9. Voitovich N. N., Reshnyak O. O. Closed solutions of a nonlinear integral equation arisen in the antenna arrays synthesis theory // III-th Int. Seminar/Workshop "Direct and Inverse Problems of Electromagnetic and Acoustic Wave Theory", Tbilisi, November 2-5, 1998: Proc. – Lviv-Tbilisi, 1998. – P. 67–71.

10. Voitovich N. N., Reshnyak O. O. Solutions of nonlinear integral equation of synthesis of the linear antenna arrays // BSUAE Journ. of Applied Electromagnetics. – 1999. – 2, n.1. – P. 43–52.

11. Bulatsyk O. O., Gis O. M., Voitovich N. N. Some peculiar properties of solutions of the generalized phase problem // VI-th Int. Seminar/Workshop "Direct and Inverse Problems of Electromagnetic and Acoustic Wave Theory", Lviv, September 18-20, 2001: Proc. – Lviv, 2001. – P. 38–41.

12. Bulatsyk O. O., Voitovich N. N. Modified phase problem with nonsymetrical data // VII-th Int. Seminar/Workshop “Direct and Inverse Problems of Electromagnetic and Acoustic Wave Theory”, Tbilisi, October 10-13, 2002: Proc. – Lviv-Tbilisi, 2002. – Р. 137–141.

13. Булацик O. O. Нові властивості розв’язків модифікованої фазової проблеми // Математичні проблеми механіки неоднорідних структур. – Львів, 2003. – С. 513–515.

14. Bulatsyk O. O., Voitovich N. N. Properties of nonlinear Hammerstein integral equations connected with modified phase problem // VIII-th Int. Seminar/Workshop "Direct and Inverse Problems of Electromagnetic and Acoustic Wave Theory", Lviv, September 23-25, 2003: Proc. – Lviv, 2003. – Р. 135–138.

Анотація. Булацик О. О. Аналітико-числове розв’язування одного класу нелінійних задач з вільною фазою. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.02 – математичне моделювання та обчислювальні методи. – Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України, Львів, 2004.

У роботі розвинуто аналітико-числовий підхід до розв’язування класу нелінійних інтегральних рівнянь типу Гаммерштейна, які виникають в математичних моделях оптимізації радіотехнічних та оптичних систем. Встановлено, що розв’язки таких рівнянь породжуються поліномами скінченого степеня. Розроблено методику знаходження всіх розв’язків згаданих рівнянь і дослідження процесу їх галуження. Отримані системи трансцендентних рівнянь на визначення всіх точок галуження. Розроблено алгоритм і комплекс програм для знаходження та повного дослідження всіх розв’язків рівнянь вказаного типу. Досліджено природу точок біфуркації типу появи і зникнення розв’язків та їх перетворення. Методика дослідження загального інтегрального рівняння, що розглядається, застосована до конкретних рівнянь, які виникають в теорії синтезу антен за заданою амплітудною діаграмою напрямленості та оптимізації передаючих ліній. Чисельно встановлено, що оптимальними є розв’язки з найбільшим степенем породжуючого полінома.

Ключові слова: задача з вільною фазою, нелінійне інтегральне рівняння типу Гаммерштейна, аналітико-числові методи, точка галуження, перетворення Фур’є, система трансцендентних рівнянь.

Аннотация. Булацик О. О. Аналитико-численное решение одного класса нелинейных задач со свободной фазой. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.05.02 – математическое моделирование и вычислительные методы. – Институт прикладных проблем механики и математики им. Я. С. Подстригача НАН Украины, Львов, 2004.

Диссертационная работа посвящена развитию аналитико-численного подхода к решению одного класса нелинейных интегральных уравнений типа Гаммерштейна, возникающих в математических моделях оптимизации радиотехнических и оптических систем. Найденные решения порождаются комплексными полиномами конечной степени. Получена верхняя оценка степени порождающих полиномов. Доказана теорема о возможности замены нулей этих полиномов на комплексно-сопряженные.

Разработана методика нахождения всех решений нелинейных уравнений такого класса и исследования их ветвлений. Получены однородное интегральное уравнение и системы трансцендентных уравнений для определения всех точек ветвления.

Разработан алгоритм и создан комплекс программ для определения и полного исследования всех решений уравнений рассматриваемого класса. Установлено существование точек бифуркации типа появления и исчезновения решений и исследован процесс их преобразования.

Методика исследования общего уравнения применена к конкретным уравнениям, возникающим в задачах синтеза и оптимизации радиотехнических и оптических систем. Рассмотрены случаи, когда оператором задачи является оператор преобразования Фурье непрерывного и дискретного типов, а также оператор преобразования Ганкеля. Эти случаи соответствуют задачам оптимизации линейной антенны, эквидистантной антенной решетки и передающих линий, состоящих из двух антенн круглой формы. Найдены все решения этих уравнений в заданном диапазоне изменения физических параметров и проведено исследование всех точек ветвления.

Теоремы, доказанные для общего уравнения, переформулированы для частных случаев. Для случая непрерывного преобразования Фурье доказана дополнительная теорема о принадлежности глобальных минимумов задачи к классу построенных решений.

Приведены численные результаты, касающиеся поведения параметров порождающих полиномов, собственных значений однородного уравнения, значений функционала задачи на вещественных и оптимальных решениях и эффективности синтеза. Численно установлено, что оптимальными решениями являются решения с наибольшей степенью порождающего полинома.