Анотація до роботи:

Нiкiтiн А.В. Аналіз стохастичних динамiчних систем з пуассонiвськими збуреннями. – Рукопис.

Дисертацiя на здобуття наукового ступеня кандидата фiзико-математичних наук за спецiальнiстю 01.05.04 – системний аналiз i теорiя оптимальних рiшень. – Київський нацiональний унiверситет iменi Тараса Шевченка, Київ, 2004.

У дисертацiї на основi другого методу Ляпунова за допомогою квадратичних функцiоналiв Ляпунова-Красовського дослiджено на стiйкiсть розв'язки систем стохастичних диференцiальних та диференцiально-рiзницевих рiвнянь Iто-Скорохода. Встановлено методи та алгоритми знаходження розв'язкiв узагальненого матричного рiвняння Сiльвестра, що дають вiдповiдь на питання про побудову функцiоналiв Ляпунова-Красовського та створено програмнi продукти для реалізпції одержаних алгоритмiв. Результати сформульовано у виглядi теорем та програм на мовi C++ та Turbo Pascal.

Ключовi слова: стохастичне диференцiальне рiвняння, асимптотична стiйкiсть у середньому квадратичному, квадратичний функцiонал Ляпунова-Красовського, узагальнене матричне рiвняння Сiльвестра.

Основними результатами дисертацiйного дослiдження є наступнi:

1) встановленi необхiднi та достатнi умови експоненцiальної p-стiйкостi (p>0) тривiального розв'язку нелiнiйних СДР з пуассонiвськими збуреннями;

2) одержано необхiднi та достатнi умови асимптотичної стiйкостi у середньому квадратичному тривiального розв'язку лiнiйних СДР зі сталими коефiцiєнтами та пуассонiвськими збуреннями;

3) встановленi умови асимптотичної стiйкостi в середньому квадратичному тривiального розв'язку СДР, не розв'язаних вiдносно диференцiалiв з пуассонiвськими збуреннями;

4) встановлено достатнi умови асимптотичної стiйкостi в середньому квадратичному тривiального розв'язку лiнiйних СДРР iз запiзненням при наявностi пуассонiвських збурень;

5) одержано достатнi умови асимптотичної стiйкостi в середньому квадратичному тривiального розв'язку СДРР зі сталими коефiцiєнтами iз запiзненням, не розв'язаних вiдносно диференціалів з пуассонiвськими збуреннями;

6) одержано оцiнки у середньому квадратичному розв'язкiв лiнiйних СДРР iз запiзненням та пуассонiвськими збуреннями;

7) встановлено достатнi умови експоненціальної стiйкостi з імовірністю одиниця лiнiйних СДР зі сталими коефіцієнтами;

8) розроблено методику розв'язання узагальненого матричного рiвняння Сiльвестра, що виникає при дослiдженнi стiйкостi розв'язкiв СДР та СДРР;

9) побудовано алгоритм розв'язання узагальненого матричного рiвняння Сiльвестра iтерацiйним методом;

10) запропоновано методику та алгоритми розв'язання узагальненого матричного рiвняння Сiльвестра методами опуклого програмування;

11) здiйснена програмна пiдтримка розв'язання матричного узагальненого рiвняння Сiльвестра та чисельної реалізації оцінок розв'язків систем диференціально-функціональних рівнянь із запізненням.

Основні результати дисертації опубліковані в 19 друкованих працях:

1. Никитин А.В., Юрченко И.В., Ясинский Е.В. Оптимизационная процедура решения обобщенного матричного уравнения Сильвестра // Проблемы управления и информатики. - 1998. - N4. - C. 51 - 65.

2. Никитин А.В., Ясинский В.К. Итерационная процедура решения обобщенного матричного уравнения Сильвестра // Кибернетика и системный анализ. - 2000. - N3. - С. 183 - 186.

3. Нiкiтiн А.В. Абсолютна стiйкiсть в середньому квадратичному розв'язкiв систем стохастичних диференцiальних рiвнянь не розв'язаних вiдносно похiдних // Вiсник Київського унiверситету. Сер. фiз.-мат. науки. -Київ, 1998. - Вип.2. - С. 107 - 111.

4. Нiкiтiн А.В. Асимптотична стiйкiсть у середньому квадратичному розв'язкiв систем лiнiйних диференцiально-рiзницевих рiвнянь з векторним вiнерiвським процесом та пуассонiвськими перемиканнями // Вiсник Київського унiверситету. Серiя: Фiзико-математичнi науки, В.3, 2001. - С. 312 - 319.

5. Нiкiтiн А.В. Алгебраїчнi умови асимптотичної стiйкостi в середньому квадратичному розв'язкiв систем стохастичних диференцiальних рiвнянь не розв'язаних вiдносно похiдних з векторним вiнерiвським процесом та пуассонiвськими перемиканнями // Крайовi задачi для диференцiальних рiвнянь: Зб. наук. пр. - Київ: Iн-т математики НАН України, 1998. - Вип. 1(19). - С. 187 - 192.

6. Никитин А.В., Юрченко И.В., Ясинский Е.В. О процедуре решения обобщенногоматричного уравнения Сильвестра // Дослiдження математичних моделей: Зб. наук. пр. -К.: Iн-т математики НАН України, 1997. - С. 245 - 259.

7. Нiкiтiн А.В. Абсолютна стiйкiсть у середньому квадратичному розв'язкiв систем стохастичних диференцiальних рiвнянь з векторним вiнерiвським процесом та пуассонiвською мiрою // Iнтегральнi перетворення та їх застосування до крайових задач: Зб. наук. пр. - Київ: Iн-т математики НАН України, 1997. - Вип. 16. - С. 211 - 219.

8. Нiкiтiн А.В., Ясинський В.К. Алгебраїчний критерiй асимптотичної стiйкостi у середньому квадратичному розв'язкiв стохастичних диференцiальних рiвнянь з пуассонiвськими збуреннями. // Iнтегральнi перетворення та їх застосування до крайових задач: Зб. наук. пр. - Київ: Iн-т математики НАН України, 1996. - Вип. 11. - С. 146 - 152.

9. Нiкiтiн А.В., Ясинський В.К. Iтерацiйний процес розв'язання матричного узагальненого рiвняння Сiльвестра // Iнтегральнi перетворення та їх застосування до крайових задач: Зб. наук. пр. - Київ: Iн-т математики НАН України, 1996. - Вип. 12. - С. 164 - 168.

10. Нiкiтiн А.В., Ясинський В.К., Ясинський Є.В. Розв'язання узагальненого рiвняння Сiльвестра методами опуклого динамiчного програмування // Iнтегральнi перетворення та їх застосування до крайових задач: Зб. наук. пр. - Київ: Iн-т математики НАН України, 1996. - Вип. 14. - С. 167 - 176.

11. Нiкiтiн А.В., Юрченко I.В. Iтерацiйний метод розв'язання матричного рiвняння Сiльвестра // Всеукраїнська конф. "Диференцiально-функцiональнi рiвняння та їх застосування" (15 - 18 травня 1996 р., Чернiвцi): Тези доп. -К., 1996. - С. 204.

12. Нiкiтiн А.В., Ясинський В.К., Ясинський Є.В. Оптимiзацiйна процедура розв'язання матричного рiвняння Сiльвестра // International Conference Modelling and Investigation Systems Stability. System Investigation. - Thesis of Conference reports (May 19 - 23. 1997) - Kiev, 1997. - P. 130.

13. Нiкiтiн А.В., Юрченко I.В. Абсолютна стiйкiсть у середньому квадратичному розв'язкiв стохастичних диференцiально-рiзницевих рiвнянь iз загаюванням //Украинская конф. "Моделирование и исследование устойчивости систем" (20 - 24мая 1996 г., Киев): Тезисы докл. - Киев., 1996. - С. 15.

14. Нiкiтiн А.В. Алгебраїчнi коефiцiєнтнi критерiї асимптотичної стiйкостi в середньому квадратичному розв'язкiв систем стохастичних диференцiальних рiвнянь з векторним вiнерiвським процесом та пуассонiвськими перемиканнями не розв'язаних вiдносно похiдних // Мiжнародна наукова конференцiя "Сучаснi проблеми математики". - Т.4. - Чернiвцi: "Рута", 1998. - С. 165 - 168.

15. Нiкiтiн А.В. Асимптотична стiйкiсть у середньому квадратичному розв'язкiв систем лiнiйних диференцiальних рiвнянь iз запiзненнями та пуассонiвськими перемиканнями // "Диференцiальнi рiвняння i нелiнiйнi коливання". Тези доповiдей Мiжнародної конференцiї, 27 - 29 серпня 2001 р., С.118.

16. Beresa V.Yu., Nikitin A.V. The Restrictions of Second Moment of the Solution of Linear Stochastic Functional Differential Equations with Poisson Switchings // International Conference on Functional Analyses and its Applications. Dedicated to the ii0^th anniversary of Stefan Banach. Book of abstracts. May 28 – 3i, 2002. - P. 32 - 33.

17. Нiкiтiн А.В., Ясинський В.К. Експоненцiальна стiйкiсть з iмовiрнiстю одиниця розв'язкiв лiнiйних стохастичних диференцiальних рiвнянь Iто-Скорохода iз запiзненням // Theory of evolution equations. International conference. Fifth Bogolyubov's Reading. (May 22 - 24, 2002, Kamyanets-Podilsky): Abstracts of Reports. - Kamyanets-Podilsky: Abetka NOVA, 2002. - P.127.

18. Бурага А.Б., Никитин А.В., Семчук А.Р. Исследование на устойчивость линейных автономных стохастических систем с возмущениями винеровского и пуассоновского типов // VIII Четаевская международная конференция "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением". Тезисы докладов. (Казань, 28 - 31 мая 2002).- Казань: Изд-во Казан. гос. тех. ун-та, 2002. - С.31.

19. Nikitin A.V., Jasinsky V.K. The exponential p-stability of stochastic differential equations with Poisson switchings // 8^th International Vilnius onference of Probability Theory and Mathematical Statistics (Vilnius, 23 – 29 June 2002). - Abstracts of Communications. - Vilnius: VNU, 2002. - V.3. - P. 126 - 127.

Публікації автора:

1. Никитин А.В., Юрченко И.В., Ясинский Е.В. Оптимизационная процедура решения обобщенного матричного уравнения Сильвестра // Проблемы управления и информатики. - 1998. - N4. - C. 51 - 65.

2. Никитин А.В., Ясинский В.К. Итерационная процедура решения обобщенного матричного уравнения Сильвестра // Кибернетика и системный анализ. - 2000. - N3. - С. 183 - 186.

3. Нiкiтiн А.В. Абсолютна стiйкiсть в середньому квадратичному розв'язкiв систем стохастичних диференцiальних рiвнянь не розв'язаних вiдносно похiдних // Вiсник Київського унiверситету. Сер. фiз.-мат. науки. -Київ, 1998. - Вип.2. - С. 107 - 111.

4. Нiкiтiн А.В. Асимптотична стiйкiсть у середньому квадратичному розв'язкiв систем лiнiйних диференцiально-рiзницевих рiвнянь з векторним вiнерiвським процесом та пуассонiвськими перемиканнями // Вiсник Київського унiверситету. Серiя: Фiзико-математичнi науки, В.3, 2001. - С. 312 - 319.

5. Нiкiтiн А.В. Алгебраїчнi умови асимптотичної стiйкостi в середньому квадратичному розв'язкiв систем стохастичних диференцiальних рiвнянь не розв'язаних вiдносно похiдних з векторним вiнерiвським процесом та пуассонiвськими перемиканнями // Крайовi задачi для диференцiальних рiвнянь: Зб. наук. пр. - Київ: Iн-т математики НАН України, 1998. - Вип. 1(19). - С. 187 - 192.

6. Никитин А.В., Юрченко И.В., Ясинский Е.В. О процедуре решения обобщенногоматричного уравнения Сильвестра // Дослiдження математичних моделей: Зб. наук. пр. -К.: Iн-т математики НАН України, 1997. - С. 245 - 259.

7. Нiкiтiн А.В. Абсолютна стiйкiсть у середньому квадратичному розв'язкiв систем стохастичних диференцiальних рiвнянь з векторним вiнерiвським процесом та пуассонiвською мiрою // Iнтегральнi перетворення та їх застосування до крайових задач: Зб. наук. пр. - Київ: Iн-т математики НАН України, 1997. - Вип. 16. - С. 211 - 219.

8. Нiкiтiн А.В., Ясинський В.К. Алгебраїчний критерiй асимптотичної стiйкостi у середньому квадратичному розв'язкiв стохастичних диференцiальних рiвнянь з пуассонiвськими збуреннями. // Iнтегральнi перетворення та їх застосування до крайових задач: Зб. наук. пр. - Київ: Iн-т математики НАН України, 1996. - Вип. 11. - С. 146 - 152.

9. Нiкiтiн А.В., Ясинський В.К. Iтерацiйний процес розв'язання матричного узагальненого рiвняння Сiльвестра // Iнтегральнi перетворення та їх застосування до крайових задач: Зб. наук. пр. - Київ: Iн-т математики НАН України, 1996. - Вип. 12. - С. 164 - 168.

10. Нiкiтiн А.В., Ясинський В.К., Ясинський Є.В. Розв'язання узагальненого рiвняння Сiльвестра методами опуклого динамiчного програмування // Iнтегральнi перетворення та їх застосування до крайових задач: Зб. наук. пр. - Київ: Iн-т математики НАН України, 1996. - Вип. 14. - С. 167 - 176.

11. Нiкiтiн А.В., Юрченко I.В. Iтерацiйний метод розв'язання матричного рiвняння Сiльвестра // Всеукраїнська конф. "Диференцiально-функцiональнi рiвняння та їх застосування" (15 - 18 травня 1996 р., Чернiвцi): Тези доп. -К., 1996. - С. 204.

12. Нiкiтiн А.В., Ясинський В.К., Ясинський Є.В. Оптимiзацiйна процедура розв'язання матричного рiвняння Сiльвестра // International Conference Modelling and Investigation Systems Stability. System Investigation. - Thesis of Conference reports (May 19 - 23. 1997) - Kiev, 1997. - P. 130.

13. Нiкiтiн А.В., Юрченко I.В. Абсолютна стiйкiсть у середньому квадратичному розв'язкiв стохастичних диференцiально-рiзницевих рiвнянь iз загаюванням //Украинская конф. "Моделирование и исследование устойчивости систем" (20 - 24мая 1996 г., Киев): Тезисы докл. - Киев., 1996. - С. 15.

14. Нiкiтiн А.В. Алгебраїчнi коефiцiєнтнi критерiї асимптотичної стiйкостi в середньому квадратичному розв'язкiв систем стохастичних диференцiальних рiвнянь з векторним вiнерiвським процесом та пуассонiвськими перемиканнями не розв'язаних вiдносно похiдних // Мiжнародна наукова конференцiя "Сучаснi проблеми математики". - Т.4. - Чернiвцi: "Рута", 1998. - С. 165 - 168.

15. Нiкiтiн А.В. Асимптотична стiйкiсть у середньому квадратичному розв'язкiв систем лiнiйних диференцiальних рiвнянь iз запiзненнями та пуассонiвськими перемиканнями // "Диференцiальнi рiвняння i нелiнiйнi коливання". Тези доповiдей Мiжнародної конференцiї, 27 - 29 серпня 2001 р., С.118.

16. Beresa V.Yu., Nikitin A.V. The Restrictions of Second Moment of the Solution of Linear Stochastic Functional Differential Equations with Poisson Switchings // International Conference on Functional Analyses and its Applications. Dedicated to the ii0^th anniversary of Stefan Banach. Book of abstracts. May 28 – 3i, 2002. - P. 32 - 33.

17. Нiкiтiн А.В., Ясинський В.К. Експоненцiальна стiйкiсть з iмовiрнiстю одиниця розв'язкiв лiнiйних стохастичних диференцiальних рiвнянь Iто-Скорохода iз запiзненням // Theory of evolution equations. International conference. Fifth Bogolyubov's Reading. (May 22 - 24, 2002, Kamyanets-Podilsky): Abstracts of Reports. - Kamyanets-Podilsky: Abetka NOVA, 2002. - P.127.

18. Бурага А.Б., Никитин А.В., Семчук А.Р. Исследование на устойчивость линейных автономных стохастических систем с возмущениями винеровского и пуассоновского типов // VIII Четаевская международная конференция "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением". Тезисы докладов. (Казань, 28 - 31 мая 2002).- Казань: Изд-во Казан. гос. тех. ун-та, 2002. - С.31.

19. Nikitin A.V., Jasinsky V.K. The exponential p-stability of stochastic differential equations with Poisson switchings // 8^th International Vilnius onference of Probability Theory and Mathematical Statistics (Vilnius, 23 – 29 June 2002). - Abstracts of Communications. - Vilnius: VNU, 2002. - V.3. - P. 126 - 127.