Анотація до роботи:

Мединець К.С. Апроксимація перетворень стандартних борелівських просторів та канторівських множин. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01. – математичний аналіз. Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України, Харків, 2008.

В дисертації вивчаються топологічні властивості групи всіх борелівських автоморфізмів стандартного борелівського простору та групи гомеоморфізмів канторівської множини. Встановлено топологічний аналог леми Рохліна для гомеоморфізмів канторівської множини, тобто доведено щільність множини періодичних гомеоморфізмів. Для аперіодичних гомеоморфізмів лема Рохліна може бути сформульована наступним чином: довільний аперіодичний гомеоморфізм є ізоморфним перетворенню Вершика, яке діє на просторі шляхів діаграми Браттелі. Досліджено питання про орбітальну еквівалентність та фліп-спряженість мінімальних гомеоморфізмів в термінах їх повних груп. Описанні замикання деяких класів автоморфізмів стандартного борелівського простору і гомеоморфізмів канторівської множини.

В дисертації побудовано теорію апроксимації гомеоморфізмів канторівської множини через періодичні гомеоморфізми. Це дозволило вирішити декілька проблем, зокрема, побудувати гомеоморфізм, клас спряженості якого є щільним в Homeo(Щ) відносно рівномірної топології.

Було винайдено реалізацію аперіодичних гомеоморфізмів у вигляді перетворення Вершика на просторі нескінчених шляхів діаграм Браттелі. Іншими словами, вдалося знайти відповідний аналог леми Рохліна (або, що теж саме, розбиттів Какутані-Рохліна) для аперіодичних гомеоморфізмів. Ця реалізація дозволить в подальшому використовувати методи діаграм Браттелі для вивчення аперіодичних динамічних систем і -алгебр асоційованих з ними.

Використовуючи техніку К-Р розбиттів, було показано, що кожен мінімальний гомеоморфізм належить до комутатора його повної групи. Було також встановлено, що комутатор повної групи є алгебраїчно простою групою і повністю визначає клас орбітальної еквівалентності мінімального гомеоморфізму. Таким чином питання класифікації динамічних систем відносно орбітальної еквівалентності зводиться до класифікації простих груп.

Аналогічно було показано, що комутатор топологічної повної групи є простою групою і визначає клас фліп-спряженості мінімального гомеоморфізму. Запропонований метод доведення є загальним і може бути використано для вивчення транзитивних гомеоморфізмів.

Встановлено, що кожен мінімальний гомеоморфізм може бути представлено як добуток трьох інволюцій з його повної групи. Подібні результати існували раніше тільки для автоморфізмів різних булевих алгебр і перетворень, що зберігають міру.

При вивченні борелівських автоморфізмів, було встановлено, що група

є лінійно зв’язною відносно рівномірної топології. Зауважимо, що подібна факторизація є природною також і для ергодичної теорії. В групі також виконується лема Рохліна і властивість Рохліна. Ці результати свідчать, що група є аналогом групи несингулярних автоморфізмів.

Слабка топологія на групі Aut(X,B) містить велику кількість відкритих множин, але, у той же час, не є дискретною. Було встановлено, що множина гладких борелівських автоморфізмів щільна в групі Aut(X,B).

Дана дисертаційна робота, у поєднані з роботами Безуглого, Дулі і Квіатковського, дозволяє розглядати ергодичну теорію, борелівську і канторівську динаміки з єдиних позицій. Такі дослідження відокремлюють найбільш загальні результати, які залежать тільки від структурних властивостей фазових просторів, а не від зафіксованого класу мір.

Публікації автора:

[1] Bezuglyi S., Medynets K. Smooth automorphisms and path-connectedness in Borel dynamics // Indag. Mathem., N.S. — 2004. — Vol. 15, no. 4. — Pp. 453–468.

[2] Bezuglyi S., Dooley A. H., Medynets K. The Rokhlin lemma for homeomorphisms of a Cantor set // Proc. Am. Math. Soc. — 2005.— Vol. 133, no. 10.— Pp. 2957 – 2964.

[3] Bezuglyi S., Kwiatkowski J., Medynets K. Approximation in ergodic theory, Borel, and Cantor dynamics // Contemporary Math. — 2005.— Vol. 385.— Pp. 39–64.

[4] Medynets K. Cantor aperiodic systems and Bratteli diagrams // C. R., Math., Acad. Sci. Paris.— 2006.— Vol. 342, no. 1. — Pp. 43–46.

[5] Medynets K. On approximation of homeomorphisms of a Cantor set // Fund. Math. — 2007. — Vol. 194.— Pp. 1–13.

[6] Bezuglyi S., Medynets K. Full groups, flip conjugacy, and orbit equivalence of Cantor minimal systems // Colloq. Math. — 2008.— Vol. 110, no. 2.— Pp. 409–429.