Анотація до роботи:

Рижкова І. А. Асимптотична динаміка термопружної пластинки Кармана в потоці газу. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.03 — математична фізика. Харківський національний університет імені В. Н. Каразіна, Харків, 2008.

Дисертація присвячена дослідженню зв’язаної системи рівнянь "термопружна пластина + газ", що описує поведінку як термопружної пластини фон Кармана, так і збуреного потоку газу, та її редукції до системи рівнянь із запізненням, що описує поведінку тільки пластини.

Доведено коректну розв’язність повної системи "пластина + газ" для будь-якої швидкості потоку газу у випадку урахування інерції обертання елементів пластини та для дозвукової швидкості потоку газу у випадку нехтування інерцією обертання. Показано, що у випадку дозвукової швидкості потоку газу будь-який розв’язок системи прямує до множини її нерухомих точок.

Проведено зведення повної задачі до системи рівнянь із запізненням та доведена коректна розв’язність отриманої системи. Встановлено умови на параметри задачі, за яких відповідна динамічна система має компактний глобальний атрактор скінченної фрактальної розмірності.

У дисертаційній роботі розглядалися наступні початково-крайові задачі, які описують коливання термопружної пластини фон Кармана в потенціальному потоці газу:

повна система (11)-(18), що описує як нелінійні коливання термопружної пластини, так і збурення потоку газу, який займає верхній півпростір та рухається вздовж осі зі швидкістю ;

система із запізненням (20)-(25), отримана в результаті редукції повної системи (11)-(18), якщо початкові дані для газу мають компактні носії; ця система описує тільки коливання термопружної пластини.

Ці задачі виникають при моделюванні коливань обшивки літального апарату при його русі в атмосфері.

Метою дисертаційної роботи був опис якісної поведінки розв’язків вищезгаданих задач при великих значеннях часу. Задачі про коливання нелінійної термопружної пластини в потенціальному лінеаризованому потоці газу на строгому математичному рівні вивчаються вперше.

У дисертації отримано низку нових результатів щодо якісних властивостей розв’язків розглянутих задач, а саме:

доведена коректна розв’язність повної системи рівнянь "термопружна пластина + газ" (11)-(18) для будь-яких значень швидкості потоку газу у випадку урахування інерції обертання () та для дозвукового потоку газу у випадку нехтування інерцією обертання ();

встановлено коректну розв’язність системи рівнянь із запізненням (20)-(25), яка є редукцією вихідної задачі;

показано, що розв’язки повної системи "пластина + газ" притягуються до множини нерухомих точок системи в локально-енергетичній топології; при цьому стабілізація має місце тільки за рахунок теплової дисипації на пластині та спадання локальної енергії для хвильової компоненти системи; присутності будь-якої механічної дисипації в моделі не припускається;

встановлено додаткову граничну регулярність розв’язків хвильового рівняння в півпросторі;

доведено існування компактного глобального атрактора скінченної фрактальної розмірності для зведеної системи із запізненням (20)-(25) для будь-яких при та для достатньо великих при ;

показано, що асимптотична поведінка усіх трьох компонент розв’язку задачі із запізненням (20)-(25) повністю визначається асимптотичною поведінкою першої компоненти та, крім того, може бути описано скінченним числом параметрів.

Зокрема, ці результати означають, що у випадку дозвукового потоку газу розглянуті задачі мають тільки регулярні граничні режими, тобто теплова дисипація в пластині робіть панельний флатер неможливим при дозвукових швидкостях.

Отримані в дисертаційній роботі результати можуть слугувати основою для побудови ефективних алгоритмів чисельного дослідження граничних режимів розглянутих задач.

Публікації автора:

1. Ryzhkova I. Stabilization of von Krmn plate in the presence of thermal effects in the subsonic flow of gas // J. Math. Anal. Appl. – 2004. – Vol. 294/2. – P. 462–481.

2. Ryzhkova I. On a retarded PDE system for a von Karman plate with thermal effects in the flow of gas // Matematicheskaja fizika, analiz, geometrija. – 2005. – Vol. 12, № 2. – P. 173–186.

3. Ryzhkova I. Dynamics of a thermoelastic von Karman plate in a subsonic gas flow // Zeitschrift fr Angewandte Mathematik und Physik. – 2007. – Vol. 58. – P. 246–261.

4. Ryzhkova I. On Trace Regularity of Solutions to a Wave Equation with Homogeneous Neumann Boundary Conditions // Журнал математической физики, анализа, геометрии. – 2007. – Т. 3, № 4. – C. 468–489.

5. Рыжкова И. А. Стабилизация пластины фон Кармана с тепловыми эффектами в дозвуковом потоке газа // Десята міжнародна наукова конференція ім. академіка М. Кравчука. Матеріали конференції. – Київ. – 2004. – C. 217.

6. Ryzhkova I. Nonlinear oscillations of a plate in a potential gas flow in the presence of thermal effects // 1st Annual Conference of EU–Network "Phenomena in High Dimentions": Conference on Convex Geometry and High Dimesional Phenomena. Proceedings. Vien(Austria). –2005. – P. 24–25.

7. Ryzhkova I. Qualitative behaviour of von Karman thermoelastic plate in a gas flow // International conference on differential equations. Proceedings. Lviv (Ukraine). – 2006. – P. 141–142.