Анотація до роботи:

Щербина О. С. Асимптотична поведінка розв’язків дисипативної системи рівнянь Захарова. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.03 – математична фізика. Харківський національний університет імені В. Н. Каразіна, Харків, 2006.

Дисертація присвячена дослідженню дисипативної системи рівнянь Захарова у різних обмежених областях. Ця система була запропонована для опису колапсу ленгмюровських хвиль у плазмі.

У випадку одновимірної області та періодичних граничних умов було доведено існування глобального розв’язку та встановлено, що відповідна динамічна система є дисипативною і має компактний глобальний атрактор. У випадку, коли зовнішні сили є аналітичними функціями, доведено, що елементами глобального атрактора є аналітичні функції просторової змінної.

У двовимірному випадку доведено існування і єдиність глобального (за часом) розв’язку. У дисипативному випадку показано існування інваріантної множини початкових умов, що породжують глобальний (за часом) розв’язок. Встановлено дисипативність та існування глобального атрактора відповідної динамічної системи.

Побудована регуляризація системи рівнянь Захарова та доведена збіжність атрактора регуляризованої системи до атрактора системи Захарова.

У висновках підбиваються підсумки проведеного дослідження, наведено отримані у роботі нові результати про якісну поведінку розв’язків системи рівнянь Захарова в різних обмежених областях, а саме:

1. Доведена теорема існування і єдиності гладких розв'язків системи рівнянь Захарова у випадку одновимірної області. Встановлено, що у цьому випадку система рівнянь Захарова породжує дисипативну динамічну систему, яка має компактний глобальний атрактор. Більш того, доведено, що якщо зовнішні сили є аналітичними функціями, то елементи атрактора є аналітичними функціями просторової змінної.

   Доведена теорема існування і єдиності розв'язків у випадку двовимірної області.

   Показано, що двовимірна система рівнянь Захарова породжує дисипативну динамічну систему, яка має компактний глобальний атрактор.

   Побудована регуляризація системи рівнянь Захарова за допомогою бігармонічного оператора з малим коефіцієнтом та доведена збіжність атрактора регуляризованої задачі до атрактора системи Захарова.

Публікації автора:

1. Shcherbina A. S. Gevrey regularity of the global attractor for the dissipative Zakharov system // Dynamical Systems. – 2003. – Vol. 18, No 3, – P. 201–225.

2. Shcherbina A. S. Dissipative Zakharov system in two-dimensional thin domain // Matematicheskaya fizika, analiz, geometriya. – 2005. – Vol. 12. – No 2. – P. 230-245.

3. Chueshov I. D. and Shcherbina A S. On 2D Zakharov system in a bounded domain // Differential and Integral Equations. – 2005. – Vol. 18, No 7, – P. 781-812.

4. Щербина А. С. Глобальный аттрактор сингулярно возмущенной системы Захарова // Вісник Харківського національного університету ім. В. Н. Каразіна, серія «Математика, прикладна математика і механіка». – 2005. – No 711. – С. 55–67.

5. Щербина А. С. Гладкость решений диссипативной системы Захарова // Dynamical system modelling and stability investigation. – Thesis of conferences reports. – Kyiv, 2005. – P. 358.

6. Shcherbina A. S. Solutions of dissipative Zakharov system // Conference on Convex Geometry and High Dimensional Phenomena. – Wien (Austria), 2005. – P. 26-27.

7. Shcherbina A. S. Dissipative Zakharov system in bounded domain // International Conference «Nonlinear Partial Differential Equations», Book of abstracts. – Donetsk, 2005. – P. 91.