Анотація до роботи:

Шинкаренко Володимир Миколайович. Асимптотичні зображення розв’язків диференціальних рівнянь n-го порядку з експоненціальною нелінійністю. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 - диференціальні рівняння.- Одеський національний університет ім. І.І. Мечникова, Одеса, 2005.

Дисертацію присвячено дослідженню асимптотичного поводження правильних і сингулярних неколивних розв’язків звичайних диференціальних рівнянь - го порядку, що містять у правій частині експоненціальну нелінійність. За своїми асимптотичними властивостями множина всіх розв’язків таких рівнянь розпадається на класів, кожен з яких досліджується окремими методами. Для кожного з цих класів розв’язків одержано точні асимптотичні формули

16

при . Крім того, встановлено необхідні і достатні умови існування розв’язків з отриманими асимптотичними зображеннями.

Розроблені для даного типу рівнянь методики дослідження в основному грунтуються на ідеях, які закладені в роботах І.Т. Кігурадзе, О.В. Костіна, В.М. Євтухова, але містять і нові підходи, що раніше не використовувались при дослідженні асимптотичного поводження розв’язків істотно нелінійних диференціальних рівнянь. Запропоновані в дисертації методики можуть бути поширені на нелінійні рівняння більш загального вигляду.

В дисертаційній роботі розглядається клас істотно нелінійних неавтономних диференціальних рівнянь -го порядку з експоненціальною нелінійністю вигляду (6), частинні випадки якого виникають в різних галузях фізики та механіки.

Показано, що множина всіх розв’язків диференціального рівняння (6), що визначені в деякому лівому околі , розпадається на розв’язки із властивістю і розв’язки із властивістю.

При достатньо природних умовах на коефіцієнт побудовано методики дослідження асимптотичного поводження таких розв’язків при .

Доведено леми про асимптотичні властивості таких розв’язків у випадку їх наявності, а також отримано теореми про необхідні і достатні умови існування кожного з класів розв’язків і про їх асимптотичні зображення.

Методика дослідження - розв’язків єдина для випадків і , тому отримані результати дають можливість описати асимптотичне поводження при не тільки правильних, але і різних типів сингулярних розв’язків.

Деякі з отриманих результатів є новими навіть для рівнянь другого порядку (5), які раніше досліджувались у роботах В.М. Євтухова і Н.Г. Дрік.

У випадку довільного результати дисертації суттєво доповнюють відомі результати І.Т. Кігурадзе, Г.Г. Квінікадзе, В.М. Євтухова та О.В. Костіна і можуть бути застосовані для дослідження диференціальних рівнянь більш загального вигляду.

Публікації автора:

1. Евтухов В.М., Шинкаренко В.Н. О решениях со степенной асимптотикой дифференциальных уравнений с экспоненциальной нелинейностью // Нелінійні коливання. – 2002. – Т. 5, № 3. – С. 306 – 325.

2. Шинкаренко В.Н. Асимптотические представления решений дифференциальных уравнений п-го порядка с экспоненциальной нелинейностью // Нелінійні коливання. – 2004. – Т. 7, № 4. – С. 562 – 573.

14

3. Шинкаренко В.Н. Асимптотические представления правильных неколеблющихся решений одного нелинейного дифференциального уравнения п-го порядка // Сб. науч. тр. НАН Украины. Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения. Киев – 1996. – С. 277 – 278.

4. Евтухов В.М., Шинкаренко В.Н. Асимптотическое поведение решений дифференциальных уравнений п-го порядка с экспоненциальной нелинейностью // Дифференц. уравнения. – 2001. – Т. 37, № 11. – С. 1578 – 1579.

5. Шинкаренко В.Н. Асимптотические представления правильных решений дифференциального уравнения с экспоненциальной нелинейностью // Сб. науч. тр. Ин-та математики НАН Украины «Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и математической физики». Киев –1997. – С. 287 – 289.

6. Евтухов В.М., Шинкаренко В.Н. К вопросу об асимптотике правильных решений одного нелинейного дифференциального уравнения п-го порядка // Сб. статей 1-й международной научно-практической конференции. Математика и психология в педагогической системе “Технический универсистет”. Одесса. – 1996. – Ч. 1. – С. 37 – 39.

7. Шинкаренко В.Н. Асимптотическое поведение одного класса решений дифференциального уравнения с экспоненциальной нелинейностью // Труды VII Международного симпозиума «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики» Феодосия – 1997. - С. 215 – 218.

8. Евтухов В.М., Шинкаренко В.Н. Об асимптотике решений одного нелинейного двучленного дифференциального уравнения п-го порядка // Сб. “Сучасні проблеми математики”. Матеріали Міжнародної наукової конференції. Чернівці – Київ, 1998. Частина

І. – С. 202 – 205.

9. Євтухов В.М., Шинкаренко В.М. Асимптотичне поводження розв’язків диференціального рівняння з експоненціальною нелінійністю. – П’ята Міжнародна Наукова конференція ім. ак. М.Кравчука. – 1996, Київ. – Тези доповідей. – С. 136.

10. Евтухов В.М., Шинкаренко В.Н. Асимптотика решений одного класса нелинейных дифференциальных уравнений в особых случаях // Четвертая Крымская Международная Математическая школа “Метод функций Ляпунова и его приложения”. Тезисы докладов. Симферополь. – 1998. – С. 25.

11. Шинкаренко В.М. Асимптотичне поводження розв’язків диференціального рівняння п-го порядку з експоненціальной нелінійністю // Всеукраїнська конференція “Диференціально-функціональні рівняння та їх застосування”. Тези доповідей. Київ. - 1996. – С. 200.

15

12. Шинкаренко В.Н. Об асимптотическом поведении решений нелинейного дифференциального уравнения п-го порядка // Міжнародна конференція «Асимптотичні та якісні методи в теорії нелінійних коливань». Треті Боголюбовські читання. Тези доповідей. Київ – 1997. - С. 185 – 186.

13. Шинкаренко В.Н. Об асимптотических свойствах решений одного нелинейного дифференциального уравнения п-го порядка // Міжнародна конференція “Диференціальні та інтегральні рівняння”. Тези доповідей. Одеса – 2000. – С. 298 – 299.

14. Шинкаренко В.Н. Асимптотических свойства решений одного дифференциального уравнения п-го порядка // Український Математичний Конгрес. Міжнародна конференція “Диференціальні рівняння і нелінійні коливання”. Тези доповідей. Київ – 2001. – С. 167.

15. Шинкаренко В.Н. О правильных решениях нелинейных дифференциальных уравнений п-го порядка с экспоненциальной нелинейностью // Міжнародна конференція “Теорія еволюційних рівнянь”. Тези доповідей. Кам’янець-Подільський – 2002. – С. 176.

16. Шинкаренко В.Н. Асимптотические свойства решений одного нелинейного дифференциального уравнения специального вида // Міжнародна конференція “Шості Боголюбовські читання. Тези доповідей. Київ – 2003. – С. 244.

17. Шинкаренко В.М. Асимптотика розв’язків одного нелінійного диференціального рівняння в особливому випадку // Міжнародна математична конференція ім. В.Я. Скоробогатька. Тези доповідей. Львів – 2004. – С. 231.

18. Shinkarenko V. On the solutions of the differential equations with exponential Nonlinearity// Analysis and its applications. Mersin – 2004 – P. 49.