Анотація до роботи:

Скуратівський С.І. Автохвильові розв’язки моделі середовища з просторовою та часовою нелокальністю.– Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.04.01-“фізика приладів, елементів і систем”. – Національний політехнічний університет, Одеса, 2002 р.

У дисертації проведено детальний аналіз структури підмножини автохвильових розв’язків моделі середовища з просторовою нелокальністю. Засобами нелінійного локального якісного аналізу та чисельно доведено існування каскаду біфуркацій подвоєння періоду циклу, “дивного” атрактору, торів. Виявлено явище внутрішньої біфуркації хаотичного атрактора, області з гістерезисною поведінкою фазового потоку, області з відокремленими траєкторіями. Досліджено структуру множини розв’язків, близьких до гомоклінічних петель сідло-фокуса. Побудовано двопараметричні біфуркаційні діаграми виявлених режимів. Вивчено динаміку змін в структурі множини автохвильових розв’язків у моделях з часово-просторовою нелокальністю. Встановлено необхідні умови існування петлі сідло-фокуса для спрощеної моделі гідродинамічного типу та чисельно знайдено петлеподібний розв’язок при фіксованих значеннях керуючих параметрів. Проведено аналіз стійкісних властивостей солітоноподібного розв’язку моделей за допомогою чисельного моделювання еволюції автохвильового режиму в рамках кінцево-різницевого методу та методу прямих.

В дисертаційній роботі проведено аналіз структури автохвильових розв’язків моделі середовища з просторовою та часово-просторовою нелокальностями. Дослідження динамічної системи, яка отримується за методом теоретико-групової редукції вихідної системи рівнянь в частинних похідних, виявили періодичні, мультиперіодичні, квазіперіодичні, хаотичні та солітоноподібні режимі. Таким чином з’ясовано, що сценарій утворення хаотичного атрактора є результатом зчисленного числа біфуркацій подвоєння і реалізується при зменшенні біфуркаційного параметру – швидкості хвильового фронта. Тобто спостереження такого каскаду належить очікувати в міру послаблення нелінійної хвилі. Показано, що хаотичний атрактор описується спектром ляпуновських характеристичних показників з одним додатним показником і, як наслідок, є “дивним”. Виявлено області в двопараметричній площині з відокремленими режимами: а) випадок гістерезису в області хаосу, який показує, що навантаження та розвантаження структурованого середовища може здійснюватись за різними сценаріями; б) співіснування інших структур з граничним циклом, що виявляє вибірковий характер протікання фізичних процесів в структурованих середовищах. Доведено шляхом аналізу фазових діаграм та одновимірних точкових відображень, що модель з просторовою нелокальністю допускає квазіперіодичні режими, досліджено їх біфуркаційні властивості. Тобто врахування просторової нелокальності в рівнянні стану дозволяє описати появу режиму “биття” при зменшенні швидкості нелінійної хвилі внаслідок дисипативних процесів. Чисельно показано, що фазовий простір динамічної системи містить траєкторії, подібні до петель гомоклініки сідло-фокуса. Досліджено структуру та біфуркаційні властивості множини солітоноподібних розв’язків. Тим самим показано, що просторова нелокальність, що є одним із проявів ієрархічної будови середовища (зокрема геофізичного), відіграє ключову роль у формуванні локалізованих структур солітонного типу. Здійснено аналіз характеру зміни структури автохвильових розв’язків моделей з часовою (просторовою) нелокальністю при малому збуренні у вигляді додавання просторової (часової) нелокальності. Показано, що ці збурення не руйнують автохвильових структур і дозволяють більш повно проявити притаманні їм риси. Тим самим продемонстровано формотворчі властивості врахування нелокальності в динамічному рівнянні стану. На прикладі модельної системи продемонстровано ефективність використання локального нелінійного аналізу динамічних систем до пошуків множин значень параметрів, при яких можливе виникнення петлі гомоклініки, що є образом бісолітона. Шляхом використання неявних схем кінцево-різницевого методу та чисельних схем методу прямих в класі моделей з просторовою нелокальністю показано, що структура солітоноподібного розв’язку не руйнується на досліджуваному просторово-часовому проміжку. Таким чином, проведений локальний нелінійний та чисельний аналіз структур в околі стаціонарного стану динамічної системи виявив більшість відомих на сьогодні автохвильових режимів та їх біфуркацій. Вперше проведено детальний аналіз структури підмножини розв’язків систем в класі моделей з просторово-часовою нелокальністю. Вперше з’ясовано еволюційні властивості автохвильових розв’язків моделей з просторовою нелокальністю.

Публікації автора:

1. Владіміров В.А., Скуратівський С.І. Автоколивні та солітоноподібні розв’язки в нелокальній моделі структурованого середовища // ДАН України.- 2000. - № 11.- С.7-12.

2. Владіміров В.А., Скуратівский С.І. Дослідження інваріантних розв’язків моделі структурованого середовища, що враховує нелокальні ефекти // Вісник ЖІТІ. - 1999.- №11. -С.24-29.

3. Скуратівський С.І. Метод стрільби для визначення характеристик автохвильових розв'язків нелінійної моделі структурованого середовищa // Праці Інституту математики НАН України. - 2001.- Т.36. - С.269-275.

4. Vladimirov V.A., Sidorets V.N., Skurativsky S.I. Complicated travelling wave solutions of a modeling system describing media with memory and spatial nonlocality // Reports on Math. Phys. - 1999. - Vol. 44, № 1/2. - P.275-282.

5. Vladimirov V.A., Skurativsky S.I. Soliton-like solutions and other wave patterns in the nonlocal model of structured media // Reports on Math. Phys. - 2000. - Vol. 46, №1/2. - P.287-294.

6. Vladimirov V.A., Skurativsky S.I. On invariant wave patterns in non-local model of structured media // Proc. International Conf. “Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics” III. – Kiyv (Ukraine). - 1999. - P.239-244.

7. Скуратівський С.І. Еволюція тестового автохвильового розв’язку моделі середовища з нелокальностями. // Вісник ЖІТІ. - 2002. - №19. - С.147-152.

8. Skurativskyy S.I. On the autowave solutions of some model of structured media accounting for effects of spatio-temporal nonlocality. // Nonlinear Phenomena in complex Systems.- 2001.- №4:4. – P. 390-396.

9. Vladimirov V.A. and Skurativskyy S.I. On the localized invariant traveling wave solutions // in Proceedings of Fourth International Conference ``Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics'' (9--15 July, 2001, Kyiv), Editors A.G. Nikitin, V.M. Boyko and R.O. Popovych, Kyiv, Institute of Mathematics, 2002, V.43, Part 1, 234--239.