Анотація до роботи:

Шавала О. В. Деякі властивості лінійних диференціальних рівнянь другого порядку з мероморфними коефіцієнтами. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 – математичний аналіз. – Львівський національний університет імені Івана Франка, Львів, 2008.

Дисертаційна робота присвячена вивченню зв’язку між властивостями мероморфних коефіцієнтів лінійного диференціального рівняння другого порядку і властивостями мероморфних і голоморфних розв’язків цього рівняння та породженого ним крайових задач. У роботі знайдено класи, яким може належати голоморфний розв’язок рівняння з мероморфним коефіцієнтом з полюсами другого порядку або без полюсів, коли послідовність його нулів задовольняє умову Бляшке, а прості нулі утворюють інтерполяційну підпослідовність. Досліджено умови, за яких лінійне диференціальне рівняння другого порядку з мероморфними коефіцієнтами має голоморфні і обмежені в одиничному крузі розв’язки. З’ясовано апроксимаційні властивості функцій Бесселя першого роду з індексами і та побудовано деякі крайові задачі, власні функції яких пов’язані з цими функціями.

У дисертаційній роботі розв’язано ряд актуальних задач, які знаходяться на стику аналітичної теорії диференціальних рівнянь, комплексного аналізу та функціонального аналізу, а саме:

– знайдено опис послідовностей комплексних чисел, які можуть бути послідовностями нулів деякого голоморфного розв’язку в однозв’язній області лінійного диференціального рівняння другого порядку без першої похідної з мероморфним коефіцієнтом з полюсами другого порядку або без полюсів;

– знайдено класи, яким може належати розв’язок лінійного диференціального рівняння другого порядку без першої похідної з голоморфним коефіцієнтом, послідовність нулів якого задовольняє умову Бляшке;

– знайдено класи, яким може належати голоморфний розв’язок рівняння , коефіцієнт якого є мероморфним з полюсами другого порядку або без полюсів. При цьому, послідовність нулів цього розв’язку задовольняє умову Бляшке, а прості нулі задовольняють інтерполяційну умову;

– знайдено умови, за яких кожен розв’язок рівняння , де функції і – мероморфні в одиничному крузі, є голоморфним і обмеженим в цьому крузі;

– знайдено умови, за яких існує фундаментальна система розв’язків рівняння , де функції і – мероморфні в одиничному крузі, голоморфна, як функція двох змінних і , і для кожного обмежена в одиничному крузі;

– знайдено умови, за яких рівняння , де функція – мероморфна з однією особливою точкою в одиничному крузі, має голоморфний і обмежений розв’язок в цьому крузі;

– знайдено умови, за яких рівняння , де функція – голоморфна в одиничному крузі, має голоморфний і для кожного обмежений розв’язок в цьому крузі;

– знайдено апроксимаційні властивості функцій Бесселя першого роду з індексами і ;

– розглянуто властивості власних функцій деяких крайових задач, які породжені функціями Бесселя першого роду з індексами і .

Результати дисертації мають теоретичний характер. Вони можуть бути використані для подальшого розвитку аналітичної теорії диференціальних рівнянь, теорії крайових задач та дослідження властивостей функцій Бесселя з від’ємним індексом.

Ряд результатів дисертації мають форму критеріїв і носять завершений характер. Для досягнення поставленої мети використовувались методи аналітичної теорії диференціальних рівнянь, методи комплексного аналізу та методи функціонального аналізу.

Публікації автора:

1. Винницький Б.В., Шавала О.В. Зауваження про голоморфні розв’язки лінійних диференціальних рівнянь // Математичні Студії. – 2007. – Т.28, №1. – С.71–76.

2. Шавала О.В. Про голоморфні розв’язки рівняння , нулі яких задовольняють умову Бляшке // Математичні Студії. – 2007. – Т.28, №2. – С.213–216.

3. Винницкий Б.В., Шавала О.В. О последовательностях нулей голоморфных решений линейных дифференциальных уравнений второго порядка // Дифференциальные уравнения. – 2008. – Т.44, №10. – С.1306–1310.

4. Винницький Б.В., Шавала О.В. Обмеженість розв’язків лінійного диференціального рівняння другого порядку і одна крайова задача для рівняння Бесселя // Математичні Студії. – 2008. – Т.30, №1. – С.31–41.

5. Шавала О. Про обмеженість голоморфних розв’язків лінійних диференціальних рівнянь // Міжнар. матем. конфер. ім. В.Я.Скоробогатька: Тези доп. – Дрогобич, 24–28 вересня 2007 р. – Львів, 2007. – С.296.

6. Шавала О. Про послідовності нулів голоморфних розв’язків лінійних диференціальних рівнянь // ХІІ міжнар. наукова конфер. ім. акад. М. Кравчука: Тези доп. – Київ, 15–17 травня 2008 р. – Київ, 2008. – Т.1. – С.437.

7. Vynnyts’kyi B., Shavala O. On completeness of the system and a boundary value problem for Bessel operator // International Conference Analysis and Topology: Abstracts. – Lviv, May 26 – June 7 2008. – Lviv, 2008. – P.54–55.