Анотація до роботи:

Бернацька Ю. М. Деякі задачі для параболічного рівняння на рімановому многовиді. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 – диференціальні рівняння. Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2004.

Дисертаційну роботу присвячено розв’язанню параболічних задач на рімановому многовиді недодатної секційної та швидкоспадної скалярної кривизни.

Доведено існування стрибка потенціалу подвійного шару для самоспряженого параболічного рівняння на многовиді недодатної швидкоспадної секційної кривизни. Розмір стрибка такий самий, як і в евклідовому випадку. Побудовано розв’язок першої граничної задачі для такого рівняння методом потенціалів та отримано оцінку його збіжності. Побудовано фундаментальний розв’язок параболічного рівняння зі зсувом на многовиді. Побудову здійснено методом збурень, виходячи з різних початкових наближень: розв’язку самоспряженого рівняння та такого самого розв’язку, помноженого на експоненту від роботи поля зсуву. Побудову проведено за різних умов на поле зсуву: сильних (швидке спадання на нескінченності норми поля зсуву та його першої і другої коваріантних похідних) та слабких (обмеженість поля зсуву та його першої і другої коваріантних похідних). Отримано представлення логарифмічного градієнта фундаментального розв’язку параболічного рівняння зі зсувом у вигляді суми двох векторних полів: відомого та обмеженого.

У дисертаційній роботі дано вирішення таких задач для параболічного рівняння на многовиді недодатної секційної кривизни.

1. Методами ріманової геометрії на многовидах вперше доведено наявність стрибка потенціалу подвійного шару самоспряженого рівняння при переході через підмноговид, на якому задано граничні умови. Доведення здійснено для підмноговидів, які мають властивості поверхні Ляпунова. Встановлено, що стрибок має таку саму величину, як і в евклідовому випадку. Існування такої властивості потенціалу подвійного шару дозволяє розв'язати першу граничну задачу методом потенціалів.

2. Доведено існування розв'язку першої граничної задачі для самоспряженого параболічного рівняння, який будується методом потенціалів. Хоча доведення проведене за відомою схемою, однак цей факт для рівняння на многовиді встановлено вперше. Водночас отримано верхню оцінку розв'язку на малих часах.

3. Вперше запропоновано та обґрунтовано процедуру побудови фундаментального розв'язку для параболічного рівняння зі зсувом. Досі фундаментальний розв'язок було побудовано лише для самоспряженого рівняння. Побудову здійснено методом збурень за різних початкових наближень. Знайдено початкове наближення, що дає нев'язку без особливостей. За різних умов на поле зсуву отримано оцінки фундаментального розв'язку та нев'язок.

4. Вперше отримано представлення логарифмічного градієнта фундаментального розв'язку параболічного рівняння зі зсувом. Подібний результат було відомо лише для самоспряженого рівняння. Логарифмічний градієнт представляється сумою двох векторних полів: відомого та обмеженого. Отримане представлення, зокрема, може бути використане при побудові розв'язку першої граничної задачі для параболічного рівняння зі зсувом методом потенціалів.

Публікації автора:

1. Бернацька Ю. М. Поведінка потенціалу подвійного шару для параболічного рівняння на многовиді // Укр. мат. журн.– 2003, Т.55.– № 5.– С. 590–603.

2. Бернацкая Ю. Н. Оценка фундаментального решения параболического уравнения со сносом на римановом многообразии // Сиб. мат. журн.– 2003, Т. 44.– № 3.– С. 493–512.

3. Бернацкая Ю. Н. Метод возмущений для параболического уравнения со сносом на римановом многообразии // Укр. мат. журн.– 2004, Т.56.– № 2.– С. 147–158.

4. Бернацкая Ю. Н. Логарифмический градиент ядра теплопроводности уравнения со сносом на римановом многообразии // Сиб. мат. журн.– 2004, Т.45.– № 1.– С 16–25.

5. Бернацька Ю. М. Перша гранична задача для параболічного рівняння на многовиді // IX Міжнародна наукова конференція ім. акад. М. Кравчука, 2002.– С. 20.