Анотація до роботи:

Забавський Б.В. Діагональна редукція матриць над кільцями. - Рукопис.

Дисертацiя на здобуття наукового ступеня доктора фiзико-математичних наук за спецiальнiстю 01.01.06 - алгебра i теорiя чисел. - Київський унiверситет iменi Тараса Шевченка, Київ, 2005.

Клас кілець Безу відіграє важливу роль при дослідженнях діагональної редукції матриць над кільцями. Особливо важливими є кільця Безу стабільного рангу 1 і 2. В дисертації доведено, що кожне праве кільце Безу стабільного рангу 1 є правим кільцем Ерміта. Показано, що кожне напівлокальне праве кільце Безу є правим кільцем Ерміта. Встановлено критерій ермітовості комутативних кілець Безу: комутативне кільце Безу є кільцем Ерміта тоді і тільки тоді, коли його стабільний ранг не перевищує 2. Показано, що комутативне кільце Безу з компактним простором мінімальних простих ідеалів є кільцем Ерміта. Доведено, що праве кільце Безу, фактор-кільце якого за радикалом Джекобсона є правим кільцем Ерміта, є також правим кільцем Ерміта. Показано, що кільце матриць над прямо скінченним кільцем, над яким довільна квадратна матриця діагоналізується, є прямо скінченним. Доведена діагональна редукція матриць певного вигляду над регулярним кільцем скінченного стабільного рангу, а також "слабка" діагональна редукція матриць над довільним регулярним кільцем. Перелічені результати дають відповіді на питання, сформульовані Хенріксеном. Показано, що клас простих кілець елементарних дільників без дільників нуля збігається з класом 2-простих кілець Безу без дільників нуля. Доведена "можлива" редукція матриць над 3-простим кільцем Безу без дільників нуля. Показано, що праве кільце Безу без дільників нуля стабільного рангу 1 є правим 2-Евклідовим і що кільце головних ідеалів без дільників нуля стабільного рангу 1 є Евклідовим кільцем.

Збудована теорія факторіального аналогу дистрибутивних кілець без дільників нуля як майже атомних кілець Безу без дільників нуля, в яких кожний максимально неголовний правий ідеал є двобічним. В цьому класі кілець описано нові класи кілець елементарних дільників. Побудовано теорію узагальнено адекватних і всюди адекватних кілець, як природного узагальнення адекватних кілець.

В класі кілець елементарних дільників виділено новий підклас кілець (а саме, кільця з елементарною редукцією матриць), над якими довільна матриця діагоналізується лише елементарними перетвореннями. Показано, що комутативне 2-Евклідове кільце є кільцем з елементарною редукцією матриць. Показано, що над кільцем елементарних дільників редукцію матриць до порядку 2 можна здійснити елементарними перетвореннями. Побудована теорія однобічної елементарної редукції матриць над адекватним кільцем, а також матриць спеціального вигляду над довільним кільцем елементарних дільників.

Встановлена можливість діагональної редукції матриць над напівпростим кільцем Безу без дільників нуля, яке є кільцем стабільного рангу 1 в локалізації за скрутами в сенсі Комарницького. Показана діагональна редукція матриць над локально зліченним кільцем Безу. Доведено, що кільце елементарних дільників з умовою L є дистрибутивним.

Питання редукції матриць безумовно заслуговують уваги спеціалістів. Можливості їх застосувань в різних галузях математики сьогодні не потребують додаткової аргументації.

В дисертації отримано ряд результатів про будову кілець Безу скінченного стабільного рангу, багато з яких є розв'язками відомих проблем теорії кілець. Зокрема:

1. Доведено, що праве кільце Безу стабільного рангу 1 є правим кільцем Ерміта.

   Доведено, що напівлокальне праве кільце Безу є правим кільцем Ерміта.

   Встановлено, що комутативне кільце Безу є кільцем Ерміта тоді і тільки тоді, коли воно є кільцем стабільного рангу 2.

   Доведено, що комутативне кільце Безу з компактним простором мінімальних простих ідеалів є кільцем Ерміта.

   Показано, що праве кільце Безу таке, що фактор-кільце по радикалу Джекобсона є правим кільцем Ерміта, є також правим кільцем Ерміта.

   Описано матриці певного вигляду, які діагоналізуються над довільним регулярним кільцем скінченного стабільного рангу.

   Показана пряма скінченність кілець матриць над прямо скінченними кільцями, які можуть бути діагоналізовані.

   Доведено, що праве кільце Безу без дільників нуля стабільного рангу 1 є правим 2-Евклідовим кільцем.

   Показано, що кільце головних ідеалів без дільників нуля стабільного рангу 1 є Евклідовим кільцем.

   Побудовано факторіальний аналог дистрибутивних кілець.

   Описано прості кільця елементарних дільників без дільників нуля, як 2-прості кільця.

   Показано, що 2-просте одинично регулярне кільце є кільцем елементарних дільників.

   Розвинута теорія адекватних кілець і побудована теорія узагальнено адекватних і всюди адекватних кілець, як комутативних кілець елементарних дільників.

   Побудована теорія кілець, над якими довільна матриця діагоналізується лише елементарними перетвореннями.

   Доведено, що комутативне 2-Евклідове кільце є кільцем, над яким довільна матриця діагоналізується лише елементарними перетвореннями.

   Показано, що праве w-Евклідове кільце Безу є лівим w-Евклідовим, що уточнює структурну будову правих головних кілець Безу без дільників нуля.

   Доведено, що над кільцем елементарних дільників редукція матриць не елементарними перетвореннями має місце лише для матриць порядку 12, 21 і 22.

   Показано, що локальне злічене кільце Безу є кільцем елементарних дільників.

   Описано нові класи некомутативних кілець елементарних дільників.

   Доведена "слабка" діагональна редукція матриць над регулярним кільцем.