Анотація до роботи:

Салімов Р.Р. До теорії локальної поведінки відображень зі скінченним спотворенням. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 – математичний аналіз. – Інститут прикладної математики і механіки НАН України, Донецьк, 2007.

Дисертація присвячена вивченню відображень зі скінченним спотворенням в , і метричних просторах.

Доведено, що гомеоморфізми за Мартіо в , абсолютно неперервні на лініях, більше того, належать до класу Соболєва і диференційовані м.в. для будь-якого .

Досліджено також проблему продовження на межу гомеоморфізмів між областями в метричних просторах з мірами. Сформульовано ряд умов на функцію і границі областей, при яких усякий гомеоморфізм допускає неперервне або гомеоморфне продовження на межу. Зокрема, доведено узагальнення й підсилення відомої теореми Герінга-Мартіо про гомеоморфне продовження на межу квазіконформних відображень між областями квазіекстремальної довжини. Результати застосовані, зокрема, до ріманових многовидів, просторів Льовнера, груп Карно та Гейзенберга.

Перерахуємо найбільш важливі результати дисертації.

1. Доведено, що гомеоморфізми за Мартіо в , , диференційовані майже усюди і абсолютно неперервні на лініях, більш того, належать класу Соболєва , якщо мажоранта локально інтегрована.

2. Побудовано теорію граничної поведінки гомеоморфізмів між областями в довільному метричному просторі з локально скінченною борельовською мірою . Зокрема, показано, що будь-який гомеоморфізм між областями зі слабо плоскими межами і компактним замиканням допускає гомеоморфне продовження на межу, якщо мажоранта має скінченне середнє коливання в точках межі щодо міри .

3. Розвинено теорію слабо плоских просторів, які є узагальненням недавно введених просторів Льовнера, і на цій основі, зокрема, отримано узагальнення і підсилення відомої теореми Герінга – Мартіо про гомеоморфне продовження на межу квазіконформних відображень між областями квазіекстремальної довжини. Крім того, в зазначених метричних просторах знайдено ряд умов на , при яких ізольовані особливі точки усувні по неперервності, а сингулярності нульової екстремальної довжини неістотні щодо гомеоморфізмів.

Таким чином, у дисертації розвинено модульну техніку стосовно конформних і квазіконформних відображень та їх узагальнень у метричних просторах, і на цій основі побудовано теорію їх поведінки на межі та в особливих точках. При цьому відповідні результати про гомеоморфне продовження на межу відображень між областями зі слабо плоскими межами є новими навіть для конформних і квазіконформних відображень на площині й у просторі. Розвинена теорія може бути застосована також до різних сучасних класів відображень зі скінченним спотворенням на ріманових многовидах, просторах Льовнера і добре відомих групах Карно і Гейзенберга.

Публікації автора:

1. Salimov R. Local behavior of Q-homeomorphisms with respect to a measure // Труды ИПММ НАН Украины. - 2006. - Т. 12. - С. 122-127.

2. Рязанов В., Салимов Р. Теория отображений в слабо плоских пространствах // Труды ИПММ НАН Украины. - 2006. - Т. 13. - С. 148-153.

3. Салимов Р. Q-гомеоморфизмы в пространствах Левнера // Труды ИПММ НАН Украины. - 2006. - Т. 13. - С. 161-173.

4. Салимов Р. О граничном поведении отображений между областями в метрических пространствах // Труды Института математики НАН Украины, Киев. - 2006. - Т.3. - С. 421-430.

5. Салимов Р. Q-гомеоморфизмы абсолютно непрерывны на линиях // Труды ИПММ НАН Украины. - 2007. - Т. 14. - С. 143-149.

6. Рязанов В., Салимов Р. Слабо плоские пространства и границы в теории отображений // Укр. мат. вестник. - 2007. - Т. 3. - № 2. - С. 199-234.

7. Салимов Р. О граничном поведении вложений метрических пространств в евклидово // Укр. мат. журн. - 2007. - №8. - С. 68-74.

8. Салимов Р.Р. О граничном поведении отображений метрических пространств // Труды Международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова, Новороссийск, Россия. - 2006. - C. 153-154.

9. Salimov R. On ACL-homeomorphisms // Abstracts of International conference in Geomrtric analysis and nonlinear PDE, Bedlevo, June 3-10, Poland. - 2007. - P. 17-18.

10. Salimov R. Differentiability and linear absolute continuity of locally integrable Q-homeomorphisms // Abstracts of Bogolubov readings 2007, Dedicated to Yu. A. Mitropolskii on the occasion of his 90-th birthday Ukraine, Zhitomir–Kiev, 19 August – 2 September 2007 Украина, 19-26 августа, Житомир, 2007. - С. 46-47.

11. Salimov R. Absolute continuity and differentiability of Q–homeomorphisms // Reports in Math. of Univ. of Helsinki. - 2007. - 463. - 7 pp.

12. Ryazanov V. and Salimov R. On the mapping theory in metric spaces // Reports in Math. of Univ. of Helsinki. - 2007. - 466. - 34 pp.