Анотація до роботи:

Прикарпатський Я.А. Дослідження алгебро-аналітичних та тополого-геометричних властивостей інтегровних динамічних систем та їх адіабатичних збурень. – Рукопис. – Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 – диференціальні рівняння. Інститут математики НАН України, Київ, 2006.

В дисертації досліджується питання побудови відображень вкладення для цілком інтегровних за Ліувіллем–Арнольдом гамільтонових систем на симплектичних многовидах. Розглянуто випадок некомутативної алгебри функціонально незалежних інваріантів гамільтоновської динамічної системи на симплектичному многовиді.Проаналізовано питання існування глобальної множини комутуючих інваріантів на всьому фазовому просторі. Вивчено диференціально-геометричні структури пов’язані з адіабатично-збуреними гамільтоновими системами на симплектичному многовиді. Побудовано гамільтонову зв’язність на відповідному розшаруванні з дією групи Лі і встановлено адіабатичні властивості відповідного відображення момента. Запропоновано новий підхід до проблеми Мельнікова–Самойленка аналізу стійкості інваріантного тору адіабатично-збуреної цілком інтегровної гамільтонової системи на основі спеціальної конструкції так званих "віртуальних" канонічних перетворень фазового простору в сепарабельних змінних Гамільтона–Якобі та зведено її до аналізу відповідної проблеми в канонічній формі Боголюбова. Встановлено стійкість інваріантного тору в проблемі Мельнікова–Самойленка. Запропоновано аналог -функції типу Дж. Мазера для конструктивної побудови ергодичних мір, асоційованих з неавтономними гамільтоновими системами на слабко точних симплектичних многовидах. Вивчено симетрійні властивості динамічних систем інваріантно редукованих на критичні точки нелокальних функціоналів Ейлера–Лагранжа. Описано диференціально-геометричну та інтегрально-операторну структуру операторів перетворень Дельсарта–Ліонса для поліноміальних пучків диференціальних операторів в просторі Гільберта.

У дисертаційній роботі отримано нові результати та запропоновано ряд нових методів для дослідження динамічних систем та їх інтегральних підмноговидів. Відмітимо основні нові отримані в роботі результати:

— Для неабелевої алгебри Лі інваріантів, які задовольняють умови теореми Міщенка–Фоменка за допомогою теорії Картана інтегровних ідеалів в алгебрі Грасмана проведено вивчення інтегрального многовиду динамічної системи. Сформульовано і доведено аналог теореми Галісо–Ріба для неабелевої алгебри інваріантів. Розглянуто питання існування глобальної інтегровності динамічної системи з неабелевою алгеброю інваріантів на всьому фазовому просторі і отримано теорему про неабелеву алгебро-аналітичну інтегровність в квадратурах.

— Вивчено структуру диференціально-геометричної редукції симплектичної структури, асоційованої з відображенням момента на головному розшаруванні зі зв’язністю. Доведено теорему про симплектоморфізм між редукованим простором та прообразом кодотичного відображення проекції головного розшарування на прообразі відображення моменту.

— Сформульовано тополого-геометричний критерій адіабатичної інваріантності адіабатично-збурених гамільтонових динамічних систем. Для таких систем на симплектичному многовиді з заданою пуассоновою дією групи Лі і многовидом адіабатичних параметрів побудовано вирази для коваріантної похідної та для форми кривини зв’язності.

— Запропоновано новий підхід до розв’язку проблеми стійкості інваріантного тору адіабатично збуреної цілком інтегровної системи, відомої проблеми Мельнікова–Самойленка, на основі спеціальної конструкції так званих "віртуальних" канонічних перетворень фазового простору в змінних Гамільтона–Якобі. Встановлено стійкість інваріантного тору цієї системи.

— Запропоновано аналог -функції типу Мазера для конструктивної побудови ергодичних мір, асоційованих з неавтономними гамільтоновими системами на слабко-точних симплектичних многовидах.

— Проведено симплектичний аналіз і гамільтонове формулювання так званої редукції Лагранжа, яка полягає у редукції вихідної інтегровної динамічної системи на підмноговид критичних точок функціоналу Лагранжа у вигляді суми густин її інваріантів. Розвинуто алгоритм побудови інваріантних функціоналів нелінійних динамічних систем на дискретних та функціональних підмноговидах.

— Дано алгебро-аналітичний опис загальної схеми побудови редукції на нелокальні лагранжеві підмноговиди для алгебраїчно-інтегровних нелінійних динамічних систем на функціональних многовидах.

— Вивчено диференціально-геометричну та інтегрально-операторну структуру операторів перетворень Дельсарта–Ліонса для поліноміальних пучків диференціальних операторів в просторі Гільберта, які мають застосування як в спектральній теорії багатовимірних операторних пучків, так і в теорії солітонів багатовимірних інтегровних динамічних систем на функціональних многовидах.

Cписок опублікованих робіт за темою дисертації

1. Самойленко А.М., Прикарпатський Я.А. Алгебро-аналітичні аспекти цілком інтегровних динамічних систем та їх збурень. // Праці інституту математики НАН України. – 2002. – Т. 41. – 237 c.

   Прикарпатський Я.А. Канонічна редукція на кодотичних симплектичних многовидах із груповою дією та на асоційованих головних розшаруваннях із зв’язністю // Нелінійні коливання. – 2006. – Т. 9, 1. – С.98–108.

   Прикарпатський Я.А. Симплектичний метод побудови ергодичних мір на інваріантних підмноговидах неавтономних гамільтонових систем: Лагранжеві многовиди, їх структура та гомології Дж. Мазера // Укр. мат. журн. – 2006. – Т. 58, 5. – С.675–691.

   Прикарпатський Я.А. Адіабатична проблема стійкості Мельнікова–Самойленка // Укр. мат. журн. – 2006. – Т. 58, 6. – C.787–803.

   Прикарпатський Я.А., Самойленко А.М., Прикарпатський А.К. Узагальнена теорія де Рама-Ходжа-Скрипника: диференціально-спектральні аспекти та деякі застосування // Укр. мат. вісник. – 2005. – Т. 2, 4. – С.550–582.

   Prykarpatsky Y.A., Samoilenko A.M., Prykarpatsky A.K. The de Rham-Hodge-Skrypnyk theory of Delsarte transmutation operators in multidimension and its applications // Reports on Math. Phys. – 2005. – V. 55, 3. – P.351–370.

   Prykarpatsky Y.A., Samoilenko A.M., Prykarpatsky A.K. The geometric properties of reduced canonically symplectic spaces with symmetry, their relationship with structures on associated principal fiber bundles and some applications. Part 1 // Opuscula Mathematica. – 2005. – V. 25, 2. – P.287–299.

   Blackmore D.L., Prykarpatsky Y.A., Samoilenko A.M., Prykarpatsky A.K. The ergodic measures related with nonautonomous Hamiltonian systems and their homology structure. Part 1 // CUBO A Mathematical Journal. – 2005. – V. 7, 3. – P.49–64.

   Prykarpatsky Y.A., Samoilenko A.M. On the Lagrangian and Hamiltonian aspects of infinite-dimensional dynamical systems and their finite-dimensional reductions // Нелінійні коливання. – 2005. – Т. 8, 3. – С.360–387.

   Bogoliubov N.N., Prykarpatsky Ya.A., Samoilenko A.M., Prykarpatsky A.K. A generalized de Rham-Hodge theory of multidimensional Delsarte transmutations of differential operators and its applications for nonlinear dynamic systems // Physics of Particles and Nuclei. – 2005. – V. 36, Suppl.1, – P.S110–S121.

   Prykarpatsky Y., Samoilenko A., Blackmore D.L., Prykarpatsky A.K. Integrability by quadratures of Hamiltonian systems and Picard-Fuchs type equations: The modern differential-geometric aspects // Miskolc Mathematical Notes. – 2005. – V. 6, 1. – P. 65–103.

   Golenia J., Prykarpatsky A.K., Prykarpatsky Y.A. The Structure of Gelfand-Levitan-Marhenko Type Equations for Delsarte Transmutation Operators of Linear Multidimensional Differerential Operators and Operator Pencils. Part 1. // J.Nonlin.Math.Phys. – 2005. – V. 12, 1. – P. 73–87.

   Golenia J., Prykarpatsky A.K., Prykarpatsky Y.A. The Structure of Gelfand-Levitan-Marchenko Type Equations for Delsarte Transmutation Operators of Linear Multidimensional Differerential Operators and Operator Pencils. Part 2 // J.Nonlin.Math.Phys. – 2005. – V. 12, 3. – P. 381–408.

   Prykarpatsky Y.A, Samoilenko A.M. The Delsarte-Darboux type binary transformations, their differential-geometric and operator structure with applications. Part 2 // Apply Problems of Mechanics and Mathematics. – 2004. 2. – PP. 7–30.

   Prykarpatsky Y.A., Samoilenko A.M. The generalized De Rham-Hodge-Skrypnik theory of Delsarte transmutation operators in multidimension and its applications // Нелінійні коливання. – 2004. – Т. 7, 4. – С. 516–537.

   Samoilenko A., Prykarpatsky Y., Blackmore D., Prykarpatsky A. On the Liouville-Arnold integrable Flows Related with quantum algebras and their Poissonian representations // Proceed. of the Inst. of Math of NAS of Ukraine. – 2004. – V. 5, Part 3, – P. 1184–1191.

   Golenia J., Prykarpatsky Y.A., Samoilenko A.M., Prykarpatsky A.K. The general differential-geometric structure of multidimensional Delsarte transmutation operators in parametric functional spaces and their applications in soliton theory. Part 2 // Opuscula Mathematica. – 2004. – V. 24, 1. – P. 71–83.

   Prykarpatsky A.K., Samoilenko A.M., Prykarpatsky Y.A. The multidimensional Delsarte transmutation operators, their differential-geometric structure and applications. Part 1 // Opuscula Mathematica. – 2003. – V. 23, – P. 71–79.

   Прикарпатський Я., Копич М. Про інтегровність однієї гідродинамічної системи та її скінченновимірних редукцій. // Вісник Львів.Ун-ту. Серія. мех.-мат. – 2003. – Т. 62. – С. 103–108.

   20. Prykarpats’kyi Ya.A., Samoilenko A.M., Samoilenko V. H. Structure of binary transformations of Darboux type and their applications to soliton theory // Ukr.Math.J. – 2003. –V. 55, 12. –P. 2041–2059.

   21. Prykarpatskyy Y. Finite dimensional local and nonlocal reductions of one type of hydrodynamic systems // Reports on Math. Phys. – 2002. –V. 50, 3. – P. 349–360.

   22. Prykarpatsky Ya.A., Prytula M.M., Revenko V. P. About a scalar Lax type representation for one class of hydrodynamic systems in one dimension // Допов.НАН України. – 2001. 8. –С.49–53.

   23. Samoilenko A.M., Prykarpatsky Y.A. The complete integrabilty and Picard-Fuchs equations of a four-dimensional truncated Focker-Plank Hamiltonian system. Part 1 // Nonlinear Oscillation. – 2001. –V. 4, 2. – P.264–271.

   24. Prykarpatsky Y., Pytel-Kudela M., Samoylenko V. On a Dirac type quantization algorithm for the Neumann-Bogoliubov oscillatory dynamical system // Nonlinear Oscillation. – 2001. – V. 4, 1. – P.106–111.

   25. Прикарпатський Я.А., Самойленко А.М. Геометричне узагальнення методу Пуанкаре для дослідження лагранжевих многовидів слабо збурених гамільтонових систем в околі гіперболічної особливої точки // Нелінійні коливання. – 2000. – Т. 2, 2. – С.246–255.

   26. Прикарпатський Я.А., Притула М.М., Гентош О.Є. Скінченновимірні редукції узагальненої динамічної системи Бюргерса і її інтегровність // Нелінійні коливання. – 2000. – Т. 3, 1. – С.95–102.

   27. Prykarpatsky Y.A., Samoilenko A.M., Blackmore D.L. Embedding of integral submanifolds and assosiated adiabatic invariants of slowly perturbed integrable Hamiltonian systems // Reports on Math. Phys. – 1999. – V. 44, 1-2. – P.171–182.