Анотація до роботи:

Щобак Н.М. Дослідження розв’язків параметризованих задач з нелінійними крайовими умовами. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук зі спеціальності 01.01.02 – диференціальні рівняння. – Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2006.

Дисертаційна робота присвячена дослідженню розв’язків крайових задач з параметрами в нелінійних рівняннях та нелінійних умовах. Обґрунтовується підхід, який базується на побудові еквівалентної крайової задачі з параметрами та лінійними крайовими умовами, що розглядається разом з певною системою визначальних рівнянь. За допомогою розробленої модифікації чисельно-аналітичного методу послідовних наближень отримано необхідні і достатні умови існування розв’язків розглядуваних задач.

В роботі запропоновано також нову схему дослідження розв’язків багатоточкових крайових задач шляхом зведення їх до двоточкових, застосовуючи відповідну параметризацію. Питання існування та наближеної побудови розв’язків цих задач вивчаються на основі чисельно-аналітичного методу послідовних наближень.

Результати, отримані в дисертаційній роботі, певним чином доповнюють сукупність конструктивних засобів дослідження задач із параметрами в нелінійному диференціальному рівнянні і в нелінійних крайових умовах та багатоточкових крайових задач. У дисертації наведено нове вирішення наукової проблеми, що виявляється в обґрунтуванні алгоритмів зведення розглядуваних класів задач до більш зручних щодо дослідження та розробка для них модифікацій чисельно-аналітичного методу послідовних наближень.

Отримані такі основні результати.

1. Запропоновано дослідження нелінійних крайових задач першого порядку з параметрами в рівнянні і умовах шляхом побудови еквівалентних їм параметризованих задач із лінійними крайовими умовами, які розглядаються разом із певною додатковою алгебраїчною системою визначальних рівнянь.

2. Обґрунтовано вивчення нелінійних багатоточкових крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь за допомогою їх зведення до двоточкових, застосовуючи відповідну параметризацію.

3. Розроблено для побудови послідовних апроксимацій розв'язків розглядуваних типів крайових задач модифікації чисельно-аналітичного алгоритму послідовних наближень.

4. Встановлено необхідні та достатні умови існування розв'язків нелінійних параметризованих та багатоточкових крайових задач.

5. Теоретичні викладки апробовано на модельних задачах.

Результати виконаних досліджень можна використовувати для розв'язання конкретних прикладних задач, математичними моделями яких служать нелінійні крайові задачі.