Анотація до роботи:

Івахниченко М.В. Дробові оператори в задачах випромінювання та дифракції електромагнітних хвиль. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.04.03 – радіофізика. – Інститут радіофізики та електроніки ім. О.Я. Усикова НАН України, Харків, 2009.

Дисертаційну роботу присвячено застосуванню дробових операторів в актуальних наукових задачах випромінювання електромагнітних хвиль в ізотропному середовищі та дифракції на двовимірних структурах, зокрема, на стрічці. В роботі розглядаються такі дробові оператори, як дробова похідна, дробовий інтеграл та дробовий ротор. Зображення відбитого поля від межі поділу за допомогою дробового ротора дало можливість описати ефект зміни поляризації в термінах дробового порядку оператора. Межі, що відповідають дробовим розв’язкам, моделюються із застосуванням анізотропних граничних умов, біанізотропного шару або ідеально електрично-магнітно провідної межі.

Граничні умови з дробовою похідною є проміжним випадком між ідеально електрично- та ідеально магнітнопровідною межами. Побудований метод розв’язання задачі дифракції на стрічці із дробовими граничними умовами, заснований на інтегральних рівняннях та ортогональних поліномах, дав змогу дослідити розсіювальні властивості поверхні. Завдяки застосуванню запропонованої узагальненої дробової теореми Гріна, вперше вдалося отримати аналітичний розв’язок задачі дифракції при дробовому порядку для усіх значень довжини хвилі. Виявлено “надхвильові” властивості стрічки при дробовому порядку , що може служити основою при проектуванні компактних відбивачів.

В дисертаційній роботі розв’язано актуальну наукову задачу радіофізики, пов’язану із розробкою нових моделей і методів, що базуються на використанні дробових операторів, в задачах випромінювання та дифракції електромагнітних хвиль на двовимірних структурах. Це є основою так званого методу дробових операторів, що базується на “фрактальній парадигмі”, запропонованій N. Engheta. Моделі, що базуються на застосуванні дробових операторів, відповідають проміжним розв’язкам, тим самим розширюючи класичні моделі.

1. В роботі побудовані нові моделі дробових джерел струму і дробових полів за допомогою дробового ротора та дробового інтеграла. Для цього знадобилося отримати вирази для дробового ротора функцій двох і трьох змінних, що розширюють результаті, отримані N. Engheta для функцій однієї змінної. Дробові джерела струму є проміжним станом між електричним і магнітним струмами.

2. В двовимірних задачах відбиття електромагнітних хвиль від межі поділу розв’язок зображується як результат застосування дробового ротора до відомого розв’язку задачі на імпедансній межі. Новий дробовий розв’язок відповідає новим межам, параметри якої залежать від початкової межі та порядку дробового ротора. Встановлено, что ці межі можна моделювати за допомогою анізотропних імпедансних ГУ або біанізотропного шару. Отримано аналітичні вирази, що пов’язують дробовий порядок як з елементами тензору анізотропного імпедансу, так і з параметрами біанізотропного шару (товщиною, кіральністю і параметром Теллегена). В окремому випадку дробова межа може моделюватися ідеально електрично-магнітно провідною межею, що була введена у розгляд I. V. Lindell. Для побудованої математичної моделі відбитого поля із використанням дробового ротора запропоновано фізичну структуру у вигляді шару із анізотропного матеріалу на ідеально провідній поверхні, що перетворює початкову лінійну поляризацію падаючого поля в довільну (лінійну або еліптичну) поляризацію відбитого поля.

3. В роботі вперше розв’язано двовимірну задачу дифракції на стрічці з ДГУ. Як окремі випадки ДГУ відповідають граничним умовам для ІЕП та ІМП меж. Розроблено новий оригінальний алгоритм, що базується на застосуванні узагальненої дробової теореми Гріна і ортогональних поліномів, який дозволив дослідити такі розсіювальні характеристики стрічки, як діаграма спрямованості, поперечники розсіювання, щільність розподілу поверхневих струмів. Розв’язання задачі дифракції на стрічці з ДГУ зводиться до розв’язання одного інтегрального рівняння, тоді як для стрічки з ІГУ задача дифракції потребує розв’язання двох інтегральних рівнянь. Розроблено алгоритм дискретизації отриманого сингулярного інтегрального рівняння із степеневим ядром. Продемонстровано переваги запропонованого методу, пов’язані зі зменшенням чисельних затрат у порівнянні з відомими методами для подібних імпедансних меж. Цей метод може бути поширений для розв’язання задач дифракції на інших структурах, зокрема, гратках.

Проведено якісне і чисельне порівняння розсіювальних властивостей стрічки з ДГУ і імпедансної стрічки для різноманітних значень довжини хвилі і кутів падіння. З наближення фізичної оптики наведено аналітичну формулу для визначення дробового порядку через імпеданс. Показано рамки застосування ДГУ для моделювання імпедансної стрічки.

4. Вперше одержано аналітичний розв‘язок задачі дифракції на стрічці з ДГУ для всіх значень довжини хвилі при окремому значенні дробового порядку, що дорівнює . Зазначимо, що відомі методи розв’язку задач дифракції на імпедансних межах не дозволяють отримати подібний аналітичний розв’язок при будь-якому значенні довжини хвилі.

5. Встановлено резонанси для поперечника зворотного розсіювання для стрічки з ДГУ при значенні дробового порядку при достатньо великих значеннях довжини хвилі у порівнянні з шириною стрічки, що відсутні для інших значень дробового порядку. Показано, що ця межа має “надхвильові” властивості, тобто може ефективно відбивати електромагнітні хвилі з довжиною, набагато більшою, ніж розміри стрічки.

Застосування дробових операторів в класичній електродинаміці розширює наші уявлення про хвильові процеси и розширює засоби обчислювальної електродинаміки. Запропоновані моделі можуть бути корисними при синтезі розсіювальних структур із заданими властивостями, зокрема, при побудові поляризаторів на основі біанізотропних, кіральних матеріалів. Розглянута модель стрічки з ДГУ може бути корисною при проектуванні компактних відбивачів.

Публікації автора:

1. Ивахниченко М. В. Метод дробных операторов в задаче излучения нити тока над плоской границей раздела / М. В. Ивахниченко // Радиофизика и электроника: Сборник научных трудов / НАН Украины. Институт радиофизики и электроники им. А.Я. Усикова. – Харьков, 2006. – Т. 11, № 3. – С. 372–376. (Англомовна версія: Ivakhnychenko M. V. Method of fractional operators in the problem of excitation of electric current thread above the plane boundary / M. V. Ivakhnychenko // Telecommunications and radio engineering. – 2008. – Vol. 67, № 2. – P. 97–108).

2. Ивахниченко М. В. Поляризационные свойства дробных полей / М. В. Ивахниченко // Радиофизика и электроника: Сборник научных трудов / НАН Украины. Институт радиофизики и электроники им. А. Я. Усикова. – Харьков, 2007. – Т. 12, № 2. – С. 328–334. (Англомовна версія: Ivakhnychenko M. V. Polarization properties of fractional fields / M. V. Ivakhnychenko // Telecommunications and radio engineering. – 2008. – Vol. 67, № 7. – P. 567–581).

3. Ivakhnychenko M. V. Fractional operators approach in electromagnetic wave reflection problems / M. V. Ivakhnychenko, E. I. Veliev, T. M. Ahmedov // Journal of electromagnetic waves and applications. – 2007. – Vol. 21, № 13. – P. 1787–1802.

4. Veliev E. I. Fractional boundary conditions in plane waves diffraction on a strip / E. I. Veliev, M. V. Ivakhnychenko, T. M. Ahmedov // Progress in electromagnetics research. – 2008. – Vol. 79. – P. 443–462.

5. Ivakhnychenko M. V. Scattering properties of the strip with fractional boundary conditions and comparison with the impedance strip / M. V. Ivakhnychenko, E. I. Veliev, T. M. Ahmedov // Progress in electromagnetics research C. – 2008. – Vol. 2. – P. 189–205.

6. Ivakhnychenko M. V. Fractional curl operator in radiation problems / M. V. Ivakhnychenko, E. I. Veliev // Mathematical methods in electromagnetic theory : 10^th international conference, 14–17 Sept. 2004 : conf. proc. – Dnieperpetrovsk, Ukraine, 2004. – P. 231–233.

7. Ahmedov T. M. Fractional solutions of Helmholtz equation in scattering problems / T. M. Ahmedov, M. V. Ivakhnychenko, E. I. Veliev // Physics and engineering of microwaves, millimeter, and submillimeter waves : The fifth international Kharkov symposium, 21–26 June 2004 : conf. proc. – Kharkiv, Ukraine, 2004. – Vol. 2. – P. 910–912.

8. Ivakhnychenko M. V. Elementary fractional dipoles / M. V. Ivakhnychenko, E. I. Veliev // Mathematical methods in electromagnetic theory : 11^th international conference, 26 June – 1 July 2006 : conf. proc. – Kharkiv, Ukraine, 2006. – P. 485–487.

9. Ahmedov T. M. New generalized electromagnetic boundaries: fractional operators approach / T. M. Ahmedov, M. V. Ivakhnychenko, E. I. Veliev // Mathematical methods in electromagnetic theory : 11^th international conference, 26 June – 1 July 2006 : conf. proc. – Kharkiv, Ukraine, 2006. – P. 434–436.

10. Ahmedov T. M. Fractional operators approach in wave propagation, reflection and radiation problems / T. M. Ahmedov, E. I. Veliev, M. V. Ivakhnychenko // Electromagnetic wave scattering : IVth international workshop, 18–22 Sept. 2006 : conf. proc. – Gebze, Turkey, 2006. – P. 33–38.

11. Ivakhnychenko M. V. Fractional boundary conditions in diffraction problems on plane screens / M. V. Ivakhnychenko, E. I. Veliev, Т. М. Ahmedov // Days on diffraction : international conference, May 29 – June 1, 2007 : conf. proc. – Saint-Petersburg, Russia, 2007. – P. 88.

12. Ivakhnychenko M. V. Fractional operators approach in reflection and diffraction problems / M. V. Ivakhnychenko, E. I. Veliev // Telecommunications in modern satellite, cable and broadcasting services (TELSIKS) : 8^th international conference, 26–28 Sept. 2007 : conf. proc. – Nis, Serbia, 2007. – P. 254–257.

13. Ivakhnychenko M. V. Fractional boundary conditions in scattering problems / M. V. Ivakhnychenko, T. M. Ahmedov, E. I. Veliev // Mathematical methods in electromagnetic theory : 12^th int. conf., 29 June – 2 July 2008 : conf. proc. – Odesa, Ukraine, 2008. – P. 226–228.

14. Veliev E. I. Scattering properties of the strip with fractional boundary conditions / E. I. Veliev, M. V. Ivakhnychenko, T. M. Ahmedov // Electromagnetic wave scattering : Vth international workshop, 22–25 Oct. 2008 : conf. proc. – Antalya, Turkey, 2008. – P.313–318.