Анотація до роботи:

Машаров П.А. Екстремальні задачі про множини Помпейю. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 – математичний аналіз. – Інститут прикладної математики і механіки НАН України, Донецьк, 2005.

Дисертацію присвячено розв’язанню локального варіанту проблеми Помпейю для деяких плоских множин, а також – дослідженню питання про те, чи є дана множина множиною Помпейю в крузі знайденого екстремального радіусу. В ній вперше в якості множин розглянуті такі, границя яких складається з дуги кола та двох відрізків або з більш, ніж однієї дуги різних кіл.

В роботі знайдено точну нижню межу радіусів кругів, для яких дана множина є множиною Помпейю в крузі цього радіусу для наступних множин: всі кругові сектори, трикутник Рело, широкий клас кругових секторів, кругових лінз та циліндрів в R³. Для решти кругових сегментів, кругових лінз та циліндрів отримані оцінки шуканої величини, які покращують відомі раніше оцінки Беренстейна та Гея.

Для всіх кругових секторів A₁(a) з кутовою мірою , для трикутника Рело та сегментів A₃(a), дуги яких мають міру досліджене питання про те, чи є ця множина множиною Помпейю в крузі відповідного екстремального радіусу.

Дисертаційна робота присвячена знаходженню радіусів кругів (або куль в R³) R, для яких дана множина A є множиною Помпейю (APomp(B_R)), а також дослідженню питання про приналежність даної множини сукупності множин Помпейю в крузі (кулі) найменшого зі знайдених радіусів (позначатиметься R(A)). В ній вперше в якості даних множин розглянуті такі, що мають границю, яка складається з дуги кола та двох відрізків або з більш, ніж однієї дуги різних кіл.

Вперше знайдено величини R(A) для всіх кругових секторів, трикутника Рело, для широкого класу кругових сегментів, кругових лінз та циліндрів в R³. Для решти кругових сегментів, кругових лінз та циліндрів отримані оцінки величини R(A), які покращують відомі раніше оцінки Беренстейна та Гея.

Для всіх кругових секторів A₁(a) з кутовою мірою , для трикутника Рело та сегментів A₃(a), дуги яких мають міру досліджене питання про те, чи є ця множина множиною Помпейю в крузі відповідного екстремального радіусу.

Всі результати одержані автором особисто. Вони є новими і докладно обґрунтованими. Основні результати роботи знаходять застосування до різних питань математичного та комплексного аналізу, до теорії наближень, а також до обертання локального перетворення Помпейю.

Публікації автора:

1. Машаров П.А. Про циліндри з локальною властивістю Помпейю // Вiстник Донецьконо нацiонального унiверситету. Серiя А. Природничi науки. – 2000. – № 1. – c. 21–25

2. Машаров П.А. Новая теорема типа Мореры в единичном круге // Вiсник Харкiвського нацiонального унiверситету. – 2000. – № 475, Серiя "Математика, прикл. математика i механiка", вип. 49 – с. 126–132.

3. Машаров П.А. Экстремальные задачи о множествах с локальным свойством Помпейю // Доповiдi НАН України. 2001. – № 7. – с. 25–29.

4. Машаров П.А. Решение локального варианта проблемы Помпейю для треугольника Рело // Вiсник Днiпропетровського унiверситету. Математика, випуск 6, 2001. – с. 72–81.

5. Машаров П. А. О множествах с локальным свойством Помпейю // Аналитические и численные методы в математике и механике, Труды XXII Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ, (17 – 21 апреля 2000 г.), Москва, мех.-мат. МГУ, 2001. –с. 115–118.

6. Машаров П. А. О замкнутости некоторых систем индикаторов плоских множеств в пространствах L_p // International Conference dedicated to M. A. Lavrentyev on the occasion of his birthday centerary. Abstract. – Kiev.: IM NAS Ukraine, 2000. – с. 77–78.

7. Машаров П. А. Решение локального варианта проблемы Помпейю для треугольника Рело // Працi наукової конференції Донецького нацiонального унiверситету за пiдсумками науково-дослiдницької роботи за перiод 1999–2000 рр. (секцiя математики) 18–20 квiтня 2001 р., с. 4–6.

8. Машаров П. А. О плоских множествах с локальным свойством Помпейю // International conference on complex analysis and potential theory (Ukrain, Kiev 7–12 august 2001), Abstracts, p. 77–78.

9. Машаров П. А. Экстремальные варианты проблемы Помпейю для круговых луночек // Тезисы докладов международной конференции "Теория функций и математическая физика", посв. 100-летию Н. И. Ахиезера, Харьков, 13–17 авг. (2001), с. 66–68.