Анотація до роботи:

Гладуш В.Д. Геометричні методи в теорії релятивістських конфігурацій. Рукопис. Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук за спеціальностю 01.04.02 – теоретична фізика. Дніпропетровський національний університет, Дніпропетровськ, 2007.

Дисертація присвячена розробці диференціально-геометричного апарату теорії релятивістських конфігурацій ЗТВ і теорії КК, побудові на цій основі ряду астрофізичних і космологічних моделей і вивченню їх фізичних властивостей.

Побудовано загальну теорію інваріантних структур розщеплення на многовиді і розглянуто її окремі випадки. Запропоновано загальний формалізм теорії сферично-симетричних конфігурацій ЗТВ. Розвинено теорію конфігурацій зарядженого пилу і їх стійкості, одержано ряд точних розв’язків рівнянь ЗТВ. Побудовано інваріантний диференціально-геометричний апарат теорії релятивістськіх течій ізентропічної рідини. Запропоновано варіаційний принцип для моделей острівних конфігурацій з ідеальної рідини. Побудовано варіаційний формалізм пилових оболонок і ефективні дії для них, розглянуто квантування і квазікласичне трактування стійкості їх стаціонарних станів. Розвинена теорія лоренц-інваріантних вакуумних конфігурацій п'ятивимірної гравітації, показана можливість динамічної реалізації умов циліндрічності й замкненості простору за п'ятою координатою. Розроблено методи побудови тензорних зображень груп і канонічних перетворень лінійних динамічних систем у ЗТВ. Вводиться конфігурація з диференціальним обертанням, яка реалізована множиною вільних пробних частинок СТО, і на цій основі, за допомогою узагальненого методу ЗЛ, прямим “фізико-геометричним” шляхом будується метрика Керра.

Введені в дисертації диференціально-геометричні об'єкти і структури, а також розвинені методи дозволяють ставити і вирішувати актуальні задачі теорії астрофізичних і космологічних конфігурацій ЗТВ. Використані тут підходи засновані на інваріантних методах диференціальної геометрії, її інваріантно визначених поняттях, об'єктах і операціях: зовнішніх формах і дотичних векторах, зовнішньому диференціюванні і Лі диференціюванні, афінній зв'язності і операторі кривини. Ключовим об'єктом, який було введено в дисертації, є нова додаткова диференціально-геометрична структура структура розщеплення H^r на многовиді M⁽ⁿ⁾. Запровадження цєї структутри дозволило сформулювати інваріантну теорію розщеплення многовидів, розвинути і уніфікувати методи декомпозиції геометричних величин, спростити аналітичний апарат теорії.

Ефективність розроблених методів демонструється в дисертації при розгляді загальних проблем і при вирішенні конкретних задач ЗТВ і теорії КК. Загальні диференціально-геометричні методи використано в теорії сферично-симетричних релятивістських конфігурацій, теорії релятивістських течій ідеальної рідини, варіаційних методах теорії складених конфігурацій, теорії тензорних гармонік слабких збурень гравітаційного поля і методі канонічних перетворень динамічних систем, прямих фізико-геометричних методах.

Інваріантні методи теорії структур розщеплення побудовано в першому розділі дисертації і далі використовуються у всіх інших її розділах. Зокрема, вони були застосовані в теорії сферично-симетричних конфігурацій, до побудови варіаційного формалізму релятивістських конфігурацій, в класичній і квантовій теорії пилових оболонок, для побудови квазікласичних моделей пилових конфігурацій, в п'ятивимірній гравітації. Ці методи, застосовані до чисто математичної задачі теорії зображень, дозволяють “розплутати” рівняння на власні тензорні функції і вирішити задачу класифікації тензорних гармонік лінійних збурень гравітаційного поля із заданою симетрією. Сукупність уведених об'єктів і структур, розроблених методів і їх застосувань може кваліфікуватися як перспективний напрям в теорії астрофізичних і космологічних конфігурацій ЗТВ та багатовимірних теорій КК. Основні висновки і результати, одержані при розробці цього напряму, зводяться до таких:

1. Побудована загальна теорія структур розщеплення H^r рангу r на многовиді M⁽ⁿ⁾ (rn), які визначаються набором r операторів проектування. Відповідні розщепленя M⁽ⁿ⁾ описуються неголономними інваріантними узагальненнями співвідношень Гаусса-Кодацці-Річчі, що містять наступні інваріантні геометричні об'єкти: індуковані зв'язності на перетинах ^a, узагальнені об'єкти обертання (X^b,Y^b) і тензори зовнішньої неголономності B^a(X^b,Y^b) перетинів ^b, тензори зовнішньої кривини S^a(X^b,Y^b) і кручення A^a(X^b,Y^b), тензори кривини R^a(X^a,Y^a)Z^a перетинів ^a. Розглянуто окремі випадки структур розщеплення H²; одержані формули для величин, що описують розщепленя, і відповідні узагальнення рівнянь Гаусса-Кодацці-Річчі.

Введені поняття адаптованого базису і його канонічної параметризації, знайдені представлення для введених величин і співвідношень, які описують різні варіанти структур розщеплення, а також співвідношення Гаусса-Кодацці-Річчі. Побудовано структури розщеплення, що індуковані сім’єю кривих і поверхонь. Розроблено теорію структур розщеплення H², індукованих і узгоджених з даними групами рухів. Побудовано величини, що описують цю структуру, одержано їх зображення в адаптованому базисі, а також відповідні рівняння Гаусса-Кодацці-Річчі.

2. Детально розроблено диференціально-геометричний апарат теорії сферично-симетричних конфігурацій ЗТВ. Уведено вектор , дуальний 1-формі dR, і побудовано рівняння Ейнштейна для його компонент в базисі власної діади ТЕІ. На цій основі введено поняття унімодулярної симетрії рівнянь Ейнштейна і знайдені визначальні рівняння для векторного поля , що породжує цю симетрію. Розвинено метод побудови інтегральних величин сферично-симетричних конфігурацій і побудовано теорію масової функції, що відповідає унімодулярній симетрії. Це приводить до набору величин, які дозволяють знайти загальне представлення власної діади ТЕІ і структуру відповідних метрик. На цій основі побудовано різні природні СВ, їх класифікація і відповідна параметризація метрик. Показано, що для вакуумних просторів з космологічною сталою та просторів електровакууму унімодулярна симетрія зводиться до ізометрії, що приводить до узагальненої теореми Біркгоффа. Знайдено відповідну масову функцію і побудовано загальні представлення метрик в неортогональних СК для СВ, супутніх як нейтральним, так і зарядженим пробним частинкам.

Для пилових конфігурацій знайдена масова функція і одержано розв’язок рівнянь Ейнштейна для пилу з космологічною сталою в неортогональній СК, яке узагальнює представлення Пенлеве. Показано, що для конфігурацій з некогерентним випромінюванням також існує унімодулярна симетрія, а похідна відповідної масової функції пов'язана з інтенсивністю випромінювання.

Для конфігурацій із зарядженим пилом побудовано повний набір інтегралів руху {m(r), Q(r), M_tot(r)} і одержано різні варіанти загальних точних розв’язків. Уведено “ефективний масовий потенціал” і запропоновано класифікацію конфігурацій зарядженого пилу на його основі. Побудовано точний розв’язок для нестаціонарної кулі з постійним радіусом компенсації енергій гравітаційного тяжіння і кулонівського відштовхування шару, коли R_e=Q(r)dQ(r)/c²dM_tot(r)=const, і проведена класифікація можливих рухів.

Розроблено теорію стаціонарних куль зарядженого пилу в загальному випадку і одержано диференціальні умови їх стійкості. Показано, що стійкі кулі ефективної маси M_tot(r) можливі тільки для зв'язаних станів слабо заряджених шарів пилу з ²>_e² і аномальним повним зарядом |Q(r)|>M_tot(r). Одержано точний розв’язок для статичної кулі з R_e=const. Розвинено теорію однорідно заряджених куль з _e/=const і знайдено точний стаціонарний внутрішній розв’язок. Показано, що умова статичності куль з екстремальним зарядом приводить до умов M_tot(r)=m(r)=Q(r)/ і ²=_e². При цьому куля знаходиться в стані байдужої рівноваги для довільного розподілу маси M_tot(r). Знайдено стаціонарні розв’язки і розглянуто їх зшивання з екстремальним розв’язком Рейсснера-Нордстрема.

3. Розроблено диференціально-геометричні методи аналізу і опису релятивістської ідеальної рідини. Для статичної острівної конфігурації із ідеальної ізентропічної рідини побудовано варіаційний принцип, узгоджений з краєвою задачею відповідних рівнянь Ейлера-Лагранжа. Він описує внутрішню і зовнішню області конфігурації і містить в собі умови зшивання Ліхнеровіча-Дармуа. Для опису об'єктів з поверхневим шаром запропоновано його дію трактувати як прояв ефективного поверхневого натягу. Він враховується введенням в дію поверхневої вільної енергії, яка не змінює рівнянь поля, але дає внесок в граничні умови. Побудовано рівняння рівноваги релятивістського об'єкту з ефективним поверхневим натягом.

Розвинені методи застосовано в теорії релятивістських нестаціонарних течій ідеальної рідини у ЗТВ. Уведено 1-форму ентальпії і 2-форму вихору рідини, в термінах яких побудовано інваріантні рівняння руху рідини. Одержано інваріантне формулювання теореми про збереження вихору ідеальної ізентропічної рідини. Виведено умови рівноваги і побудовано функцію Лагранжа для стаціонарних течій ідеальної ізентропічної рідини з урахуванням обертання. Введено потенціали обертання рідини для двох різних параметризацій базису розщеплення і встановлено зв'язок між ними.

4. Розроблено теорію коллапсуючих конфігурацій на основі пилових сферичних оболонок, які, на відміну від існуючих підходів, трактуються з точок зору внутрішнього або зовнішнього стаціонарних спостерігачів. Для опису складеної конфігурації D=D_-D₊M⁽⁴⁾, що розділена гіперповерхнею на області D_- і D₊, вводиться повна дія , яка містить дію Ейнштейна-Гільберта I_EH, дію для пилу I_m на , поверхневі доданки I і I_0, що узгоджують і нормують дію. Поверхневий доданок I_D типу Гіббонс-Хоукінга введено для фіксації метрики на границі D. Варіаційний принцип для I_tot узгоджено з краєвою задачею відповідних рівнянь Лагранжа-Ейлера. На цій основі будується двовимірний варіаційний формалізм гравітаційного поля з оболонкою, знаходяться рівняння поля і крайові умови на оболонці.

Запропонована процедура отримання редукованої дії оболонки J_sh[], яка узагальнює дію для мінімальної поверхні і є функціоналом від світового листа оболонки . Гіперповерхня має різні функції вкладення у D: для внутрішньої області D_- і для зовнішньої D₊. Побудовано варіаційну процедуру отримання рівняннь руху оболонки в координатах із редукованої дії J_sh шляхом уведення узгоджених нормальних варіацій =_±=-(n_ax^a)_± сторін оболонки. Знайдено рівняння руху оболонки відносно координат або . Одержані співвідношення для стрибка масової функції на і побудовано інтеграл руху оболонки.

Розроблено процедуру, що виключає одну з функцій вкладення з варіаційної формули для J_sh. Вона грунтується на введенні 1-форми , яка описує самодію оболонки, і приводить до ефективних дій для кожної з сторін оболонки. У координатах кривин {t±, R} звідси випливають ефективні лагранжіани . Показано, що відповідні динамічні системи підкоряються гамільтоновим в'язям , які забезпечують ізометричність сторін оболонок. Запропоновано прямий метод побудови ефективних дій, заснований на релятивістській версії принципу віртуальних зміщень Даламбера.

Розглянуто квантування самогравітуючої сферичної пилової оболонки. З гамільтонової в'яззі одержано рівняння УДВ, з якого випливає спектр енергій стаціонарних станів оболонки, що співпадає зі спектром, знайденим у роботі Гайчека, Кея і Кухаржа. Для квазікласичної інтерпретації побудовано розширену систему з обертанням і узагальненою гамільтоновою в'яззю. Введена критична маса оболонки , яка відповідає власному моменту L. Проведено класифікацію траєкторій розширеної системи і знайдено, що зв'язані стани системи можливі при mk. З рівняння УДВ для розширеної системи випливає, що ефективна квантова динаміка оболонки, що рухається радіально співпадає з динамікою S-стана розширеної квантової системи. Показано, що характеристичне співвідношення, яке випливає з УДВ для розширеної системи, еквівалентне квазікласичним умовам квантування. На цій основі розвинено квазікласичний підхід до самогравітуючої оболонки і знайдено спектр енергій стаціонарних станів оболонки з масою mm_pl. Запропоновано квазікласичне трактування стійкості стаціонарних станів оболонки, яке пов'язано з поправкою Лангера до значення квадрата квантовомеханічного власного моменту. Вона дає значення критичної власної маси оболонки m_k=m_pl, що визначає поріг стабільності. Показано, що для оболонки критичної маси m=m_k=m_pl енергію найнижчого стану можна знайти із співвідношення невизначеностей. Побудовано квазікласичну модель оболонки, що тунелює, і знайдено оцінку ймовірності цієї події; побудовано також квазікласичнау модель народження і анігіляції пар оболонок.

5. Розроблено апарат лоренц-інваріантних вакуумних конфігурацій п'ятивимірної гравітації. Доведена п'ятивимірна узагальнена теорема Біркгоффа і знайдено відповідний вектор Киллінга. Додаткова симетрія п'ятивимірних вакуумних лоренц-інваріантних просторів M⁽⁵⁾ відповідає умові циліндрічності теорії КК. Їй відповідає інтеграл руху п'ятивимірних вакуумних рівнянь Ейнштейна, що є аналогічним до закону збереження масової функції ЗТВ і визначає метрику моделі. Побудована п'ятивимірна модель редукується до чотиривимірної моделі взаємодіючих скалярного і гравітаційного полів. Конформна неоднозначність фізичної метрики усувається шляхом виділення ефективних динамічних ступенів вільності системи. Це визначає параметризацію скалярного поля і конформного фактора, що приводить до теорії скалярного і гравітаційного полів з конформним зв'язком. Побудована конфігурація гравітаційного і скалярного полів має нульовий конформно-інваріантний ТЕІ на фоні плоского простору-часу. Тому цей розв’язок трактується як модель вакуумоподібної конфігурації ЗТВ. Таким чином, показано, що нульова мода ЗТВ для гравітаційного і скалярного полів з конформним зв'язком і лоренц-інваріантна мода п'ятивимірної гравітації є ізоморфними. Умова відсутності конічної сингулярності приводить до замкненості M⁽⁵⁾ за координатою z=x⁵ з періодом . Показано також, що п'ятивимірна дія для геодезичної після вимірної редукції зводится до чотиривимірної ефективної дії для частинки змінної маси в плоскому просторі-часі. Побудована модель описує механізм спонтанної компактифікації лоренц-інваріантного п'ятивимірного вакуумного простору M⁽⁵⁾, коли постулати циліндрічності й замкненості (постулати теорії КК) реалізуються динамічно, а також ефективний прояв M⁽⁵⁾, як вакуумоподібної конфігурації ЗТВ.

6. Розвинено апарат дослідження слабких збурень гравітаційного поля, центральною ланкою якого є метод побудови тензорних мультиполів гравітаційного поля, та їх класифікація. Розроблено теорію узагальненого оператора Казиміра і одержано рівняння на метрику для цього оператора, яка узагальнює метрику Картана. На цій основі запропоновано спосіб побудови тензорних зображень груп симетрії за допомогою розв’язка задачі на власні значення і власні тензорні функції узагальненого оператора Казиміра. Розвинено метод діагоналізації узагальненого оператора Казиміра, який дозволяє розділити змінні з використанням теорії структур розщеплення H^s, узгоджених з групою симетрії G^r. Метод використано для побудови тензорних зображень груп G³ IX=SO(3) і G² II за Біанки.

Побудовано теорію множин багатопараметричних динамічних систем, інваріантних відносно узагальнених канонічних перетворень, і знайдено визначальні рівняння. Будуються рівняння для рекуррентних співвідношень лінійних систем, які збільшують і зменшують індекси, що нумерують системи. Метод застосовується до побудови операторів “народження” і “знищення” самогравітуючої квантової оболонки і обчисленню спектру її енергій.

7. Запропоновано узагальнення евристичного фізико-геометричного способу знаходження точних розв’язків рівнянь ЗТВ методу ЗЛ. Уведено поняття “галілеєвої” і “лоренцевої” деформацій простору Мінковського. Показано, що розв’язки з ТЕІ, які не задовольняють вимогам і, не можуть бути одержані методом ЗЛ. На основі поля швидкостей вільних пробних частинок СТО побудовано базис неінерциальної СВ з диференціальним обертанням, який використовується для побудови моделі з власним моментом. Ця модель є ядром запропонованого простого “фізико-геометричного” виведення метрики Керра за допомогою узагальненого методу ЗЛ.

Публікації автора:

1. Gladush V.D. Split structures in general relativity // Acta Physica Polonica B – 1999. – Vol. 30, № 1. – P. 3-25.

2. Gladush V.D. Split structures on pseudo-Riemannian manifolds // Algebras, groups and geometries – 1999. – Vol. 16, № 2. – P. 389-410.

3. Gladush V.D., Konoplya R.A. Split structures in general relativity and the Kaluza-Klein theories // J. Math. Phys. – 1999. – Vol. 40, № 2. – P. 955-979.

4. Gladush V.D., Konoplya R.A. The generalised Casimir operator and tensor representation of groups // J. Math. Phys. – 2000. – Vol. 41, № 4. – P. 2299-2309.

5. Gladush V.D. On the variational principle for dust shells in General Relativity // J. Math. Phys. – 2001. – Vol. 42, № 6. – P. 2590-2610.

6. Gladush V.D. The quasi-classical model of the spherical configuration in general relativity // Int. J. Mod. Phys. D – 2002. – Vol. 11, № 3. – P. 367-389.

7. Gladush V.D. The variational principle and effective action for a spherical dust shell // Gen. Rel. Grav. – 2004. – Vol. 36, № 8. – P.1821-1839.

8. Gladush V.D. Five-dimensional General Relativity and Kaluza–Klein Theory // Theor. and Math. Phys. 2003. Vol. 136, № 3. – P. 1312-1324.

9. Gladush V.D. A vacuum-like configuration in general relativity as a manifestation of a Lorentz-invariant mode of five-dimensional gravity // Int. J. Mod. Phys. D – 2007. – Vol. 16, № 4. – P. 711-736.

10. Гладуш В.Д. Вакуумоподобная конфигурация без космологической постоянной как проявление лоренц-инвариантной моды пятимерной гравитации // Вест. Красноярского гос. ун-та. Физ.-мат. науки. – 2005. – Вип.7. – С. 128-138.

11. Гладуш В.Д. Вариационный принцип для статической релятивистской конфигурации из идеальной жидкости // Вест. Днепропетровского ун-та. Физика. Радиофизика. – 1994. – Вып.1. – С. 79-86.

12. Гладуш В.Д. Канонічні перетворення динамічних систем та рекурентні співвідношення для спеціальних функцій // Укр. Физ. Журн. – 1995. – Т. 40, № 10. – C. 1029-1035.

13. Гладуш В.Д., Горбачев С.Ю. Узагальнений оператор Казиміра і тензорні зображення груп // Укр. Физ. Журн. – 1995. – Т. 40, № 11-12. – C. 1244-1249.

14. Gladush V.D., Konoplya R.A. The Invariant Splitting Formalism in General Relativity // Odessa Astronomical Publications – 1996. – Vol. 9. – P. 161-162.

15. Гладуш В.Д. Метод “падающего ящика” и его обобщение // Вісн. Дніпропетр. ун-ту. Фізика. Радіоелектроніка. – 1998. – Вип.2 – С. 90-107.

16. Гладуш В.Д. Метод “падаючого ящика” у загальній теорії відносності // Укр. Физ. Журн. – 1998. – Т. 43, № 8. – C. 881-889.

17. Гладуш В.Д. Ефективна дія для сферичної пилової оболонки у ЗТВ // Журн. фізичних досліджень – 2002. – Т. 6, № 4. – C. 365-367.

18. Гладуш В.Д. Вариационный принцип для пылевой сферической оболочки в общей теории относительности // Вісн. Дніпропетровського ун-ту. Фізика. Радіоелектроніка. – 2002. – Вип.9. – С. 23-29.

19. Гладуш В.Д. Метод массовой функции в общей теории относительности // Вісн. Дніпропетровського ун-ту. Фізика. Радіоелектроніка. – 2003. – Вип.10. – С. 68-74.

20. Гладуш В.Д. Про варіаційний принцип і ефективну дію для сферичної пилової оболонки у ЗТВ // Укр. Физ. Журн. – 2004. – Т. 49, № 6. – C. 522-530.

21. Гладуш В.Д. Конформно-плоские космологические модели в теории Калуцы-Клейна // Вісн. Дніпропетровського ун-ту. Фізика. Радіоелектроніка. – 2004. – №2, Вип.11. – С. 33-38.

22. Гладуш В.Д. Об условиях Калуцы-Клейна в пятимерной гравитации // Вісн. Дніпропетровсько ун-ту. Фізика. Радіоелектроніка. – 2004. – №2/2, Вип.12. – С. 106-109.

23. Гладуш В.Д., Галаджій М.В. Модель вакуумоподібної конфігурації та простір Калуци-Кляйна // Журн. фізичних досліджень – 2005. – Т. 9, № 3. – C. 1-11.

24. Гладуш В.Д., Мартыненко В.Г., Рогоза Б.Е. Релятивистская версия принципа виртуальных перемещений Даламбера и эффективное действие для пылевой сферической оболочки в ОТО // Вісн. Дніпропетровського ун-ту. Фізика. Радіоелектроніка. – 2006. – №2/3, Вип.13. – С. 91-97.