Анотація до роботи:

Ковтонюк Д.О. Гіпермодулі у теорії просторових відображень зі скінченним спотворенням. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 – математичний аналіз. – Інститут прикладної математики і механіки НАН України, Донецьк, 2005.

Дисертацію присвячено вивченню просторових відображень зі скінченним спотворенням площі.

Показано, що відображення в зі скінченним спотворенням площі в усіх вимірностях задовольняють деяким модульним нерівностям в термінах внутрішньої та зовнішньої дилатацій відображення і, зокрема, доведено узагальнення відомої нерівності Полецького для квазіконформних відображень. Також з'ясовуються можливості нижніх оцінок модуля сім'ї поверхонь вимірності при відображеннях зі скінченним спотворенням. Зокрема, за допомогою нижніх оцінок досліджено граничну поведінку гомеоморфізмів зі скінченним спотворенням площі між областями квазіекстремальної довжини за Герінгом – Мартіо. Розвинута теорія може бути застосована, наприклад, до класу скінченно біліпшицевих відображень, який є істотним узагальненням відомих класів ізометрій та квазіізометрій в

1. Доведено аналог теорем Фубіні, Вяйсяля, Мартіо – Рязанова – Сребро – Якубова, Теорема 1.1.1, про характерізацію вимірних множин в у термінах вимірності їхніх перетинів вимірними поверхнями,

2. Отримано верхні оцінки спотворення модуля сімей поверхонь усіх вимірностей при відображеннях зі скінченним спотворенням площі і, зокрема, доведені узагальнення відомих нерівностей Полецького для квазірегулярних відображень і Мартіо – Рязанова – Сребро – Якубова для відображень зі скінченним спотворенням довжини, Теорема 1.2.1.

3. Для гомеоморфізмів зі скінченним спотворенням площі отримані нижні оцінки спотворення модуля сімей поверхонь в усіх вимірностях, що мали аналоги в теорії квазіконформних і квазірегулярних відображень, Теорема 1.3.1.

4. Знайдено точні оцінки спотворення модуля сімей гіперповерхонь (поверхонь вимірності ) для нижніх гомеоморфізмів, Теорема 2.1.1.

5. Знайдено умови усувності ізольованих особливостей нижніх гомеоморфізмів, котрі не можна послабити, Теорема 2.2.1, з яких, зокрема, слідує усувність логарифмічних особливостей Наслідок 2.2.4.

6. Встановлено умови неперервної та гомеоморфної усувності нуль-множин екстремальної довжини, зокрема, множин нульової міри Хаусдорфа у вимірності , Теорема 2.3.7.

7. Знайдено умови неперервного продовження на межу відображень, зворотних до нижніх гомеоморфізмів.

8. Встановлено критерії неперервного і гомеоморфного, Теорема 2.3.6, продовження на межу нижніх гомеоморфізмів між областями квазіекстремальної довжини за Герінгом – Мартіо.

9. Показано, що будь-яке дискретне відкрите скінченно біліпшицеве відображення є відображенням скінченного спотворення площі, Теорема 3.1.2.

10. Розвинуто теорію граничної поведінки скінченно біліпшицевих відображень, які є узагальненнями ізометричних і квазіізометричних відображень, Теореми 3.2.1 і 3.3.5.

Публікації автора:

1. Kovtonyuk D., Ryazanov V. On mappings with finite hyperarea distortion // Труды ИПММ НАНУ. – 2004. – Т. 9. – С. 102-111.

2. Ковтонюк Д.А., Рязанов В.И. Об отображениях с конечным искажением гиперплощади // Доклады НАНУ. – 2005. – № 5. – C. 18-22.

3. Ковтонюк Д. О конечно билипшицевых отображениях // Труды ИПММ НАНУ. – 2005. – Т. 10. – С. 79-87.

4. Ковтонюк Д.А. О конечно липшицевых отображениях // Доклады НАНУ. – 2005. – № 10. – С. 7-11.

5. Ковтонюк Д., Рязанов В. О нижних гомеоморфизмах // Труды ИПММ НАНУ – 2005. – № 11. – С. 105-119.

6. Kovtonyuk D., Ryazanov V. To the theory of mappings with finite area distortion // Reports of Dept. Math. of Univ. of Helsinki. – 2004. – 403. – 11 pp.

7. Kovtonyuk D., Ryazanov V. Homeomorphisms with lower bounds for moduli // Reports of Dept. Math. of Univ. of Helsinki. – 2005. – 419. – 22 pp.

8. Ковтонюк Д., Рязанов В. Об отображениях с конечным искажением площади // Международная школа-конференция по анализу и геометрии, посвященная 75-летию академика РАН Ю.Г. Решетняка, Новосибирск, Россия, Тезисы. – 2004. – С. 131-132.