Анотація до роботи:

Кучменко С.М. Групи з великими системами підгруп, близьких до нормальних. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.06 – алгебра і теорія чисел. – Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2005.

Дисертаційна робота присвячена дослідженню груп, у яких система узагальнено нормальних підгрупп є досить великою у деякому сенсі. Конкретніше. Підгрупа H групи G називається майже нормальною в G, якщо множина підгруп, спряжених з H у групі G є скінченною, або, що рівносильно, нормалізатор підгрупи H має скінченний індекс у групі G. Підгрупа H групи G називається наближено нормальною в G, якщо H має скінченний індекс у своєму нормальному замкненні у групі G. Ці підгрупи були введені до розгляду Б. Нейманом. Він показав, що якщо всі підгрупи групи є майже нормальними (відповідно наближено нормальними), то група має центр скінченного індексу (відповідно скінченний комутант). Вивчення впливу системи майже нормальних підгруп на будову групи проводилось багатьма авторами. Вивчення впливу системи наближено нормальних підгруп на будову групи не було таким широким. Воно активізувалось зараз завдяки роботам італійських алгебраїстів.

Таким чином, вивчення властивостей систем майже нормальних та наближено нормальних підгруп та їх впливу на структуру усієї групи є актуальною задачею, що має свою історію та своє специфічне коло питань. До цієї тематики відноситься і дана дисертаційна робота.

В роботі розглядаються групи, у яких підгрупи, що не є майже нормальними (відповідно наближено нормальними), задовольняють деякі умови скінченності. Такими умовами скінченності в даній роботі виступають умови скінченності того або іншого рангу. Поняття рангу, що є узагальненням поняття вимірності векторного простору, є важливою числовою характеристикою, пов’язаною з групою. В теорії груп природно виникли та досить ефективно працюють різні ранги. Більш конкретно, у даній роботі вивчаються узагальнено розв’язні групи, у яких система підгруп, що не є наближено нормальними (відповідно система підгруп, що не є майже нормальними), складаються з підгруп: скінченного 0-рангу; скінченного секційного р-рангу, р – просте число; скінченного секційного рангу; скінченного спеціального рангу; скінченного тотального рангу; скінченного мінімаксного рангу, а також з черніковських та майже поліциклічних підгруп відповідно. Узагальнена розв’язність є природним обмеженням при такого роду дослідженнях, оскільки приклади груп, що побудовані О.Ю. Ольшанським та його учнями, показують, що за межами класу узагальнено розв’язних груп ситуація є кардинально відмінною.

Одна з перших задач теорії груп, яка зберігає своє значення і до цього часу, полягає у вивченні впливу на будову групи систем L_n(G) підгруп групи G, що мають властивість n для найбільш важливих природних властивостей n. У цьому напрямку важливою є задача вивчення будови груп, у яких система L_n(G) підгруп групи G, що мають властивість n, є дуже велика чи система L_non-n(G) підгруп групи G, що не мають властивості n, є дуже мала для найбільш важливих природних властивостей n. У даній дисертаційній роботі розглядаються узагальнено розв’язні групи, у яких системи підгруп, що не є майже нормальними та наближено нормальними, складаються з підгруп того чи іншого скінченного рангу. Зауважимо, що для інших важливих властивостей – нормальності та субнормальності, аналогічні дослідження також тільки починаються. В дисертаційній роботі отримано наступні результати:

описані FC-гіперцентральні та локально нетерові групи, що мають зростаючий ряд нормальних підгруп з локально нільпотентними або локально скінченними факторами, кожна підгрупа нескінченного 0-рангу яких є наближено нормальною (відповідно майже нормальною);

описані FC-гіперцентральні та локально нетерові радикальні групи, кожна підгрупа нескінченного секційного р-рангу яких є наближено нормальною (відповідно майже нормальною), р – просте число;

описані радикальні групи, кожна підгрупа нескінченного секційного рангу яких є наближено нормальною (відповідно майже нормальною);

описані групи, що мають зростаючий ряд нормальних підгруп з локально нільпотентними або локально скінченними факторами, кожна підгрупа нескінченного спеціального рангу яких є наближено нормальною (відповідно майже нормальною);

описані групи, що мають зростаючий ряд нормальних підгруп з локально нільпотентними або локально скінченними факторами, кожна підгрупа нескінченного тотального рангу яких є наближено нормальною (відповідно майже нормальною);

описані групи, що мають зростаючий ряд нормальних підгруп з локально нільпотентними або локально скінченними факторами, кожна підгрупа нескінченного мінімаксного рангу яких є наближено нормальною (відповідно майже нормальною);

описані локально майже розв’язні групи, кожна підгрупа яких, що не є черніковською, буде наближено нормальною (відповідно майже нормальною);

описані групи, що мають зростаючий ряд нормальних підгруп з локально нільпотентними або локально скінченними факторами, кожна підгрупа яких, що не є майже поліциклічною, буде наближено нормальною (відповідно майже нормальною).

Допоміжним новим результатом, що має самостійне значення, є твердження про наявність у групі нескінченного 0-рангу без періодичних нормальних підгруп, яка має зростаючий ряд нормальних підгруп з локально нільпотентними або локально скінченними факторами, абелевих підгруп нескінченного 0-рангу.

Всі результати дисертаційної роботи мають строге доведення і застосовують різноманітні теоретико-групові методи.