Валько Наталія Валеріївна. Імовірнісні моделі і методи барицентричного усереднення граничних потенціалів : дис... канд. фіз.-мат. наук: 01.05.02 / Дніпропетровський національний ун-т. - Д., 2005.
Анотація до роботи:
Валько Н.В. Імовірнісні моделі і методи барицентричного усереднення граничних потенціалів. – Рукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.02 – математичне моделювання та обчислювальні методи. – Дніпропетровський національний університет Міністерства освіти і науки України, Дніпропетровськ, 2005.
Дисертація присвячена побудові моделей та методів барицентричного усереднення для задач відновлення гармонічних функцій.
В роботі побудовано нові моделі барицентричного усереднення граничних потенціалів. Запропоновано новий підхід, який, на основі зваженого усереднення, дозволяє об’єднувати різні класичні методи. Це сприяє розробці нових, більш ефективних алгоритмів зваженого усереднення.
Отримано умови збіжності схеми барицентричного усереднення при розв’язуванні задачі Діріхле для рівняння Лапласа та Пуассона в окремих областях.
Розроблено ефективні алгоритми барицентричного усереднення за рахунок використання вузлів суперзбіжності. Це дозволило зменшити кількість розрахунків для отримання наближеного розв’язку окремих задач. Це робить метод барицентричного усереднення ефективним для випадків, коли необхідно отримати наближений розв’язок рівнянь Лапласа та Пуассона в окремих точках області за допомогою невеликої кількості достатньо простих обчислень.
У роботі наведене теоретичне узагальнення та новий підхід до вирішення наукової задачі, що полягає у розробці та удосконаленні імовірнісних моделей та методів барицентричного усереднення граничних потенціалів.
1. Встановлено теоретичні зв’язки між моделями зваженого усереднення із застосуванням геометричного моделювання
2. Побудовано базисні функції для мультиплексів та двовимірних сирендипових елементів за допомогою способу геометричного моделювання; перевірено та обґрунтовано гіпотезу про заміну апостеріорних перехідних ймовірностей апріорними у схемах випадкових блукань на симплексі.
3. Отримано умови збіжності схеми барицентричного усереднення при розв’язуванні задачі Діріхле для рівнянь Лапласа та Пуассона в окремих областях. А саме:
- доведено збіжність схеми барицентричного усереднення при розв’язуванні задачі Діріхле для рівняння Лапласа в центрі круга. Як частинний випадок, отримано умову збіжності схеми рівномірного барицентричного усереднення;
- задачу про збіжність схеми барицентричного усереднення в довільній точці круга зведено до задачі про збіжність схеми в центрі круга за допомогою конформного відображення круга довільного радіуса на самого себе. Завдяки цьому доведено збіжність схеми барицентричного усереднення при розв’язуванні задачі Діріхле для рівняння Лапласа в довільній точці круга, та отримано розрахункову формулу, яка забезпечує збіжність методу;
- отримано умови збіжності схеми барицентричного усереднення при розв’язуванні задачі Діріхле для рівняння Лапласа в довільній точці зовнішності круга, а також у нескінченно віддаленій точці;
- доведено збіжність схеми барицентричного усереднення в довільній точці круга, при розв’язуванні задачі Діріхле для рівняння Пуассона шляхом зведення розв’язування задачі Діріхле для рівняння Пуассона до розв’язування задачі Діріхле для рівняння Лапласа.
4. Побудовано розв’язок задачі хронометрування в середньому випадкових блукань в замкнутій області для випадку трикутної області на основі імовірнісного підходу. Описано імовірнісний прийом, що дозволяє побудувати обчислювальну комбінаторну формулу для узагальненого інтегралу Ейлера І роду на двовимірному симплексі (трикутнику).
5. Розроблено ефективні алгоритми барицентричного усереднення за рахунок використання вузлів суперзбіжності. Це дозволило зменшити кількість розрахунків для отримання наближеного розв’язку окремих задач. Це робить метод барицентричного усереднення ефективним для випадків, коли необхідно отримати наближений розв’язок рівнянь Лапласа та Пуассона в окремих точках області за допомогою невеликої кількості достатньо простих обчислень.
6. Результати, представлені у дисертаційній роботі, мають як теоретичний так і практичний інтерес і можуть використовуватися при подальшому дослідженні принципів барицентричного усереднення.
Публікації автора:
Валько Н.В. Збіжність методу барицентричного усереднення для рівняння Лапласа в крузі. // Вісник Запорізького державного університету. – Запоріжжя: ЗДУ, 2001. – №1. – С. 10-14.
Валько Н.В. Збіжність методу барицентричного усереднення при розв’язуванні задачі Неймана для рівняння Лапласа в крузі. – Труды ИПММ НАН Украины. – Донецк, 2001. – Т.6. – С. 15-19.
Валько Н.В., Хомченко А.Н. Збіжність методу барицентричного усереднення для рівняння Лапласа в центрі круга. - Вісник Запорізького державного університету. – Запоріжжя: ЗДУ, 2000. – Вип 2. – С. 24-26.
Валько Н.В., Хомченко А.Н. Інтегральний критерій гармонічності функції та моделі методу барицентричного усереднення // Питання прикладної математики і математичного моделювання: зб. наук. праць – Д: ДНУ, 2004. – С. 36-47.
Валько Н.В., Литвиненко О.І., Хомченко А.Н. Дискретні моделі зваженого усереднення граничних потенціалів // Вісник Харківського національного університету. Серія „Математичне моделювання. Інформаційні технології. Автоматизовані системи управління”. – Харків: ХНУ, 2005 - Вип.4.,№ 661. – С.53-60.
Валько Н.В., Хомченко А.Н. Вероятностный анализ решения граничной задачи для специального уравнения Пуассона // Диференціальні рівняння та їх застосування. - Д.: РВВ ДНУ. – 2005. - С. 95-100.
Хомченко А.Н., Валько Н.В. Дискретные аналоги интегрального условия гармоничности функции // Вісник Херсонського державного технічного університету. – Херсон: ХДТУ, 2004. – Вип.1(19). – С. 17-19.
Валько Н.В. Наближений розв’язок методом барицентричного усереднення задачі про стаціонарний розподіл температури у пластині // Вісник Херсонського державного технічного університету. – Херсон: ХДТУ,2003.–3(19).–С.55-58.
Хомченко А.Н., Валько Н.В., Литвиненко Е.И. Сглаженное усреднение граничных потенциалов на сирендиповых элементах // Автоматика. Автоматизация. Электротехнические комплексы и системы. – Херсон, ХГТУ, 2004.- №2(14). – С. 79-81.
Хомченко А.Н., Литвиненко О.І., Валько Н.В., Колесникова Н.В. Геометричні моделі згладжування потенціального поля у квадраті // Геометричне та комп’ютерне моделювання: Харк. держ. університет харчування та торгівлі. - Харків, 2004. - № 7. – С.19-26.
Хомченко А.Н., Наджафов М.Т., Валько Н.В. Две модели усреднения граничных потенциалов на адаптируемом шаблоне // Геометричне та комп’ютерне моделювання - Харків: Харк. держ. університет харчування та торгівлі, 2004. - № 8. – С.26-31.
Хомченко А.Н., Валько Н.В. Гармонические функции и геометрическая вероятность // Вісник Херсонського національного технічного університету. – Херсон: ХНТУ, 2005. – №22. – С. 335-339.
Валько Н.В. Сходимость метода барицентрического усреднения для уравнений Лапласа и Пуассона // Материалы междунар. научно-практ. конф. “Математическое моделирование в образовании, науке и производстве”. – Тирасполь: РИОПГУ. - 2001. – С. 206-208.
Валько Н.В., Белоус Ю.Н. Приближенное решение задачи о кручении призматического стержня методом барицентрического усреднения // Сб. тезисов II междунар. конгресса «Молодежь и наука – третье тысячелетие»/YSTM’02, ч.2 – М.: Регион. общ. организация «Актуальные проблемы фундам. наук», 2002. – С. 8 – 9.
Валько Н.В., Хомченко А.Н. Обчислення наближеного розв’язку рівняння Лапласа в крузі методом барицентричного усереднення // Тези доп. міжнар. наук.-метод. конф. “Комп’ютерне моделювання”. – Дніпродзержинськ: ДДТУ, 2001. – С. 16-17.
Хомченко А.Н., Валько Н.В. Модели взвешенного усреднения и несеточные алгоритмы метода Монте-Карло // Журнал обчислюв. та прикладної математики.-№2(91). – Київ: Київський національний університет імені Тараса Шевченка, 2004.– С. 77.
Хомченко А.Н., Валько Н.В., Литвиненко О.І. Моделі методу барицентричного усереднення // Матеріали міжнародної науково-практичної конференції “Інформаційні технології в системі керування вищою освітою України”, - Херсон: ХДУ, 2004. – С.24-25.
Валько Н.В., Хомченко А.Н. Интегральный критерий гармоничности функции: вероятностный аспект // Матеріали ІІ міжнародної науково-практичної конференції “Математичне та програмне забезпечення інтелектуальних систем”. – Д: ДНУ, 2004. – С.22-23.
Хомченко А.Н., Валько Н.В. Барицентрические модели в задачах восстановления гармонических функций // Материалы междунар. научно- практ. конф. “Математическое моделирование в образовании, науке и производстве”. – Тирасполь: РИО ПГУ. – 2005. – С. 84-85.
