Анотація до роботи:

Шраменко В.М. Індекс критичної точки недиференційовних еліптичних операторів. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 – диференціальні рівняння. – Інститут прикладної математики і механіки НАН України, Донецьк, 2004.

В дисертації досліджуються питання обчислення індексу ізольованої критичної точки недиференційовних еліптичних операторів другого та вищого порядків. Ці результати є наслідком доведеної у цій роботі теореми про індекс критичної точки абстрактного недиференційовного оператора класу (S₊). За допомогою доведених теорем про індекс з’ясовуються необхідні та достатні умови існування точок біфуркації відповідних крайових задач для рівнянь другого та вищого порядків. Суттєва увага приділяється теоремам про регулярність розв’язків квазілінійних рівнянь другого та вищого порядків, які містять параметр. Досить технічним питанням було показати незалежність відповідної оцінки від цього параметру. Доведення цих результатів проводилося за допомогою ітераційної техніки Ю.Мозера.

В роботі також досліджуються топологічні характеристики нелінійних еліптичних операторів із сильним (можливо експоненціальним) зростанням коефіцієнтів у головній та молодшій частинах. Доведено теореми про існування розв’язків відповідної задачі Діріхле, а також про формулу індексу критичної точки, яка знаходить подальшого застосування у задачах про точки біфуркації.

В дисертації досліджено питання обчислення індексу ізольованої критичної точки недиференційовних еліптичних операторів, а також застосування отриманих результатів до задач про точки біфуркації.

Виділимо найбільш важливі результати, отримані у дисертації.

1. Доведено теорему про індекс критичної точки абстрактного недиференційовного оператора, яка узагальнює результат роботи А.Г.Картсатоса, І.В.Скрипника .

2. За допомогою абстрактної теореми доведено теорему про індекс критичної точки квазілінійного еліптичного оператора другого порядку для області довільної вимірності .

3. З'ясовано необхідні та достатні умови існування точки біфуркації відповідної еліптичної задачі другого порядку.

4. Доведено теорему про індекс критичної точки квазілінійного еліптичного оператора вищого порядку для плоскої області , тобто при . Ця теорема спирається на абстрактний результат, доведений у даній роботі.

5. З'ясовано необхідні та достатні умови існування точки біфуркації відповідної еліптичної задачі вищого порядку.

6. Отримано корисні результати стосовно регулярності розв'язків рівнянь для операторів другого та вищого порядків. До речі, теорему про регулярність розв'язків рівнянь вищого порядку можна вважати деяким узагальненням результатів І.Нечаса та І.В. Скрипника.

7. Досліджено задачу із сильним зростанням коефіцієнтів (можливо експоненціальним). З'ясовано достатні умови того, щоб щільно визначений оператор, який відповідає задачі, задовольняв умову (S₊)_0,L. Це надало можливість введення поняття ступеню відображення та його застосування у питанні існування розв'язків. Також доведено теорему про індекс критичної точки. Окремо розглянуто випадок рівняння, яке може мати необмежені розв'язки.

Публікації автора:

1.Шраменко В.Н. Индекс критической точки недифференцируемого эллиптического оператора второго порядка // Труды ИПММ НАН Украины.- 2003. - Т.8. - С. 229-238.

2.Шраменко В.Н. Индекс критической точки недифференцируемого эллиптического оператора высшего порядка // Труды ИПММ НАН Украины.- 2004. - Т.9. - С. 221-231.

3.Шраменко В.М. Топологічні характеристики задач із сильним зростанням коефіцієнтів // Вісник ДонНУ, Серія А. – 2003. - Т.2. - С. 23-30.

4.Shramenko V.N. Application of the topological degree theory to a problem of resolvability of nonlinear elliptic dirichlet problems // Nonlinear partial differential equations. Book of abstracts of XIV International conference dedicated to J.P.Shauder. – Lviv. – 1999. - P.190.

5.Shramenko V.N. Index of a critical point for quasilinear elliptic operator of the second order // Nonlinear partial differential equations. Book of abstracts. – Donetsk. – 2001. - P.111.

6.Shramenko V.N. The index of a critical point for densely defined potential mappings of type (S₊) // Functional analysis and applications. Book of abstracts of International conference dedicated to Stefan Banach. – Lviv. – 2002. -P.184.

7.Shramenko V.N. Topological characteristics for one nonlinear elliptic operator // Book of abstracts of International conference on differential and functional differential equations. – Moscow. – 2002. - P.113.

8.Shramenko V.N. The index of a critical point for high order nondifferentiable elliptic operator // Nonlinear partial differential equations. Book of abstracts. – Donetsk. – 2003. - P.189.