Анотація до роботи:

Беркела Ю.Ю. Інтегрування нелінійних еволюційних систем з нелокальними в’язями. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 – диференціальні рівняння. – Львівський національний університет імені Івана Франка, Львів, 2005.

В дисертації отримано нетривіальний зв’язок між нелінійною системою Деві – Стюартсона (DS) і матричною ієрархією Бюргерса, що дозволило проінтегрувати систему DS. Знайдено нові інтегровні узагальнення відомих моделей теорії солітонів разом з їх зображеннями Лакса в алгебрі скалярних і матричних інтегродиференціальних операторів. Проінтегровано векторне (багатокомпонентне) узагальнення нелінійної моделі Яджими – Ойкави та її вищу симетрію, просторово-двовимірне узагальнення нелінійної ієрархії Яджими – Ойкави. Отримано широкий клас точних розв’язків для рівнянь з -редукованої D -ермітової модифікованої ієрархії КП при , як у скалярному, так і у векторному випадках. Запропоновано метод векторного узагальнення модифікованого рівняння KdV. Проінтегровано модифікації відомої моделі Хіггса і продемонстровано нетривіальний зв’язок між операторами бінарних перетворень і операторами перетворень Л.П. Нижника. Знайдено точні розв’язки матричної ієрархії КП з нелокальними в’язями. Удосконалено метод інтегрування просторово-двовимірних узагальнень рівнянь Гейзенберга (моделі Ішиморі) за допомогою загальних бінарних перетворень і отримано нові класи їх розв’язків.

У дисертаційній роботі розвивається метод нелокальних бінарних операторних перетворень типу Беклунда – Дарбу, запропонований Ю.М. Сидоренком для інтегрування ієрархії рівнянь Кадомцева – Петвіашвілі з нелокальними в’язями.

Продемонстрована ефективність методу при інтегруванні Лаксових рівнянь як з диференціальними, так і з інтегродиференціальними асоційованими спектральними задачами.

Значна кількість досліджуваних в дисертації операторів Лакса є новими і побудованими в роботі вперше, інша частина є добре відомими операторними редукціями Конопельченка – Сидоренка – Штрамппа (-cKPh) та Євела – Штрамппа (-cmKPh).

Доведені в дисертаційній роботі теореми про структуру широких класів часткових розв’язків досліджуваних моделей та явні формули для цих класів можуть мати прикладні застосування при їх подальшому якісному аналізі.

Результати і методи дисертаційної роботи можуть бути використані як для розвитку самого формалізму методу оберненої задачі, так і в різних інших областях математичної та теоретичної фізики. А саме, при постановці і дослідженні прямих і обернених задач теорії розсіяння для інтегродиференціальних рівнянь з інтегральною частиною типу Вольтерри; при дослідженні асимптотичних властивостей розв’язків конкретних нелінійних моделей, де значні досягнення пріоритетного характеру належать українським науковцям (Харківська група В.А. Марченка – Є.Я. Хруслова – В.П. Котлярова з учнями і співробітниками).

Публікації автора:

1. Беркела Ю.Ю., Сидоренко Ю.М. Векторно-матричні узагальнення бігамільтонових динамічних систем та їх інтегрування // Математичні студії. – 2005. – Т.23, №1. – С. 31-51.

2. Беркела Ю., Сидоренко Ю. Нелінійна модель типу Ішиморі як редукція неканонічної ієрархії Кадомцева – Петвіашвілі // Вісник Львів. унів. Сер. мех.-мат. – 2001. – Вип. 59. – C. 74-83.

3. Сидоренко Ю.М., Беркела Ю.Ю. Інтегрування нелінійних просторово-двовимірних рівнянь Гейзенберга // Математичні студії. – 2002. – Т.18, №1. – С. 57-68.

4. Berkela Yu.Yu. Exact solutions of matrix generalizations of some integrable systems // Proceedings of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine. – 2002. – Vol.43, Part 1. – P. 296-301.

5. Berkela Yu. Integration of Bi-hamiltonian Systems by Using the Dressing Method // Proceedings of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine. – 2004. – Vol.50, Part 1. – P. 319-324.

6. Berkela Yu.Yu. Matrix analogues of Burgers equations // Укр. фіз. журн. – 1998. – Т.43, №7. – C. 776-780.

7. Berkela Yu.Yu. On a construction of some classes of exact solutions for a modified Higgs model // Математичні студії. – 2002. – Т.18, №2. – С. 197-207.

8. Berkela Yu.Yu., Sidorenko Yu.M. The exact solutions of some multicomponent integrable models // Математичні студії. – 2002. – Т.17, №1. – С. 47-58.

9. Беркела Ю. Інтегрування бігамільтонових систем методом одягаючих перетворень // Тези доповідей Міжнарод. матем. конф. ім. В.Я. Скоробогатька, Дрогобич, 27.9.-1.10. 2004. – С. 23.

10. Беркела Ю.Ю. Інтегрування систем із модифікованої ієрархії Кадомцева – Петвіашвілі з нелокальними в’язями // Тези доповідей III Всеукр. наук. конф. “Нелінійні проблеми аналізу”, Івано-Франківськ, 9-12 вересня, 2003. – С. 10.

11. Беркела Ю.Ю. Перетворення типу Дарбу для деяких інтегродиференціальних зображень Лакса // Тези допов. Міжн. конф. “Комплексний аналіз та його застосування”, Львів, 26–29 травня, 2003. – P. 9-11.

12. Беркела Ю.Ю. Про інтегрування (2+1)-вимірної модифікованої моделі Гейзенберга // Матеріали IX міжнар. конф. ім. акад. М. Кравчука (16-19 травня 2002 р.), Київ. – 2002. – С. 224.

13. Berkela Yu., Sidorenko Yu. On nonlocal reductions in general matrix Kadomtsev – Petviashvili hierarchy // In: Book of Abstract of Intern. Conferen. on Function. Analysis and its Applic., May 28-31, 2002, Lviv, Ukraine. – P. 36.