Анотація до роботи:

Гребенюк М.Ф. Інтерпретація трискладових розподілів та теорія геометричних перетворень. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора технічних наук за спеціальністю 05.01.01 – Прикладна геометрія, інженерна графіка. – Київський національний університет будівництва і архітектури. – Київ, 2003.

Дисертацію присвячено розробці нових ефективних методів дослідження та конструювання багатовимірних багатовидів різної структури для розв’язання різноманітних практичних задач із застосуванням геометричного моделювання об’єктів, процесів і явищ. В роботі застосовується теоретико–груповий метод диференціально–геометричних досліджень, розроблений Г.Ф. Лаптєвим. Метод Лаптєва нині є одним із найефективніших методів диференціально–геометричних досліджень.

Розроблено теоретичні основи багатоскладових розподілів багатовимірних просторів, які представляють собою нові геометричні образи і дозволяють узагальнити теорію гіперсмугових розподілів, регулярних і вироджених гіперсмуг, смуг, поверхонь повного і неповного рангу, дотично–оснащених поверхонь. Досліджено випадки голономності багатоскладових розподілів та геометричні перетворення (афінні і проективні зв’язності), асоційовані з розподілами; виділено спеціальні класи афінних зв’язностей. Отримано двопараметричну низку стичних гіперквадрик, внутрішньо інваріантно приєднаних до гіперсмуги у диференціальному околі третього порядку; побудувано простори проективної зв’язності та двоїсті афінні зв’язності, які асоційовані з гіперсмугою. Продемонстровано застосування результатів дослідження трискладових розподілів до теорії тангенціально–вироджених поверхонь проективного простору: побудовано інваріантну канонічну в’язку проективних нормалей тангенціально–виродженої поверхні в диференціальному околі третього порядку та неевклідові зв’язності, для яких знайдені форми кривини. Вказано різні способи побудови тензорів і квазітензорів другого і третього порядків утворюючих елементів образів, які розглядаються у прикладах використання отриманих результатів багатовимірних просторів до розв’язання деяких прикладних задач. Одержано геометричну інтерпретацію побудованих тензорів та квазітензорів.

В дисертаційній роботі наведені основні результати проведених наукових досліджень стосовно визначення нових геометричних моделей в багатовимірних просторах.

В роботі вперше:

1. Запропоновані, обгрунтовані та розроблені автором основи теоретичного дослідження теорії трискладових розподілів афінного простору, що дозволяють узагальнити теорію гіперсмугових розподілів, регулярних і вироджених гіперсмуг, смуг, поверхонь повного і неповного рангу, дотично–оснащених поверхонь. Побудовано поля фундаментальних геометричних об'єктів трискладового розподілу. Отримано ряд інваріантних двоїстих нормалізацій розподілу, у більшості випадків знайдено геометричний зміст отриманих нормалей. Знайдено тринадцять полів інваріантних стичних гіперквадрик.

2. Встановлено, що при інваріантній нормалізації гіперрозподілу внутрішнім чином самим Н–розподілом визначається афінна зв’язність, а будь–яка інваріантна двоїста нормалізація трискладового розподілу індукує афінні зв’язності з кривиною і скрутом на розподілах, асоційованих з трискладовим розподілом. Отримано деякі геометричні результати щодо знайдених зв’язностей. Новизну містить прикладне застосування одержаних результатів в теорії гіперсмугового розподілу m–вимірних лінійних елементів.

3. Вказано можливості і деякі шляхи застосування теорії трискладових розподілів до вивчення теорії регулярних гіперсмуг. Знайдено диференціальні рівняння гіперсмуг відносно рухливого автополярного нормованого репера багатовимірного простору. Визначено нормалізацію в сенсі А.П. Нордена. Знайдено аналог тензора Дарбу, визначено геометричний зміст цього тензора.

4. Досліджено фокальні багатовиди, асоційовані з H(M(L))–розподілом, а також інваріантні підпростори, асоційовані з фокальними образами регулярних гіперсмуг. Введено нормалізацію базисного L–розподілу і оснащувального М–розподілу за А.П. Норденом. Вивчаються інваріантні оснащення гіперсмуг в сенсі Е. Картана і проективні зв'язності, індуковані побудованими інваріантними підпросторами.

5. Розроблено апарат застосування теорії трискладових розподілів до вивчення теорії тангенціально–виродженої поверхні багатовимірних просторів. Досліджено особливості одержаної у диференціальному околі третього порядку внутрішнім інваріантним чином в'язки проективних нормалей тангенціально–виродженої поверхні.

6. Встановлено бієкцію між нормалями першого і другого роду, що дозволяє одержати взаємнооднозначну відповідність однопараметричної канонічної в'язки проективних нормалей першого роду однопараметричній в'язці нормалей другого роду тангенціально–виродженої поверхні.

7. Досліджено одинадцять однозначно визначених роз-шарувань, асоційованих із тангенціально–виродженою поверхнею в неевклідовому просторі. Встановлено зв’язки між формами кривини неевклідових зв’язностей, які визначені на отриманих розшаруваннях.

8. Запропоновані та розроблені автором методи дослідження ступеня забруднення водозабору за допомогою побудованих градієнтів на прикладі розподілів, гіперсмуг та тангенціально-вироджених поверхонь багатовимірних просторів.

Отримані результати доповнюють загальну теорію розподілів однорідних просторів. Вони можуть бути використані в подальших дослідженнях в загальній теорії розподілів (розподілів m–вимірних лінійних елементів, гіперсмугових розподілів і двоскладових розподілів) багатовимірних афінних і проективних просторів, а також в теорії нормальних підрозшарувань і підрозшарувань дотичного розшарування багатовидів, асоційованих з даними розподілами, при вивченні геометрії структур різних типів.

Публікації автора:

1. Гребенюк М.Ф. Аффинная связность, ассоциированная с H(M())–распределением // Диф. геом. многообразий фигур. – Калининград, 1990. – Вып. 21. – С. 21–24.

2. Гребенюк М.Ф. Соприкасающиеся гиперквадрики трехсоставного распределения аффинного пространства // Диф. геом. многообразий фигур. – Калининград, 1991. – Вып. 22. – С. 35–41.

3. Гребенюк М.Ф. Поля інваріантних геометричних об’єктів трьохскладового розподілу афінного простору // Вісник націон. авіац. ун–ту. – 2001. – №1(8). – С. 116–120.

4. Гребенюк М.Ф. Криві, що належать трьохскладовому розподілу афінного простору // Вісник націон. авіац. ун–ту. – 2001. – №2(9). – С. 155–160.

5. Гребенюк М.Ф. Проективные нормали тангенциально–вырожденной поверхности V^r_n–1 неевклидового пространства S_n // Инвариантные методы исследования на многообразиях структур геометрии, анализа и мат. физики. – М.: Москов. ун–т. им. М.В. Ломоносова. Военно–воздушная академия им. Н.Е. Жуковского. ВИНТИ Рос. АН. ч.1. 2001. – С. 51–58.

6. Гребенюк М.Ф. Нормалі оснащувального гіперрозподілу трьохскладового розподілу афінного простору // Вісник Київ. ун–ту. Сер. фіз.–мат. наук. – 2001. – №. 1. – С. 8–13.

7. Гребенюк М.Ф. Нормалі другого роду, які оснащують розподіли трьохскладового розподілу афінного простору // Вісник Київ. ун–ту. Сер. фіз.–мат. наук. – 2001. – № 2. – С. 33–39.

8. Гребенюк М.Ф. Фокальні образи, асоційовані з гіперполосою SH_r // Вісник Київ. ун–ту. Сер. фіз.–мат. наук. – 2001. – № 3. – С. 23–31.

9. Гребенюк М.Ф. Двоїсті афінні зв’язності на регулярній гіперполосі // Вісник Київ. ун–ту. Сер. фіз.–мат. наук. – 2001. – № 4. – С.27–32.

10. Гребенюк М.Ф. Оснащение Картана базисного распределения трёхсоставного распределения аффинного пространства // Доп. НАН України. – 2002. – № 8. – С. 16–20.

11. Гребенюк М.Ф. Канонический пучок проективных нормалей гиперполосы SH_r неевклидова пространства S_n индекса l // Доп. НАН України. – 2002. – № 10. – С. 7–12.

12. Гребенюк М.Ф. Оснащающие объекты тангенциально–вырожденной поверхности V^r_n–1 неевклидова пространства S_n // Доп. НАН України. – 2002. – № 11.

13. Гребенюк М.Ф. Бієкція між нормалями першого та другого роду тангенціально–виродженої поверхні // Вісник Київ. ун–ту. Сер. фіз.–мат. наук. – 2002. – № 1. – С. 29–32.

14. Гребенюк М.Ф. Зв’язності поверхні V^r_n–1 // Вісник Київ. ун–ту. Сер. фіз.–мат. наук. – 2002. – № 2. – С. 17–21.

15. Гребенюк М.Ф. Двоїста нормалізація тангенціально–виродженої поверхні V^r_n–1 // Вісник НАНУ. – 2002. – № 1. – С. 227–232.

16. Гребенюк М.Ф. В’язка нормалей другого роду тангенціально–виродженої поверхні V^r_n–1 неевклідова простору S_n // Вісник НАУ.– 2002. – № 2. – С. 236–239.

17. Гребенюк М.Ф. Простори aфінної зв’язності на тангенціально–виродженій поверхні регулярної гіперполоси неевклідового простору // Вісник НАУ. – 2002. – № 3.

18. Гребенюк М.Ф. Неевклідові зв’язності поверхні V^r_n–1 та їхні форми кривизни // Вісник Київ. ун–ту. Сер. фіз.–мат. наук. – 2002. – № 3. – С. 11–15.

19. Косаренко М.Ф. Поля геометрических объектов регулярной гиперполосы // Диф. геометрия многообразий фигур. – Калининград, 1982. – Вып.13. – С. 38–44.

20. Косаренко М.Ф. Связности на оснащённой регулярной гиперполосе в неевклидовом N–мерном пространстве ранга l // Диф. геометрия многообразий фигур. – Калининград, 1983. – Вып.14. – С. 32–35.

21. Косаренко М.Ф. Проективные связности, ассоциированные с гиперполосой // Диф. геометрия многообразий фигур. – Калининград, 1984. – Вып.15. – С. 45–48.

22. Grebenyuk M.F. The Osculating Hyperquadrics of the Three–Component Distributoin in Affine Space // Acta Univ. Palacki. Olomouc. Fac. rer. nat., Mathematica. – 2001. – № 40. – P. 93–101.