Анотація до роботи:

Ткачук А.М. Якісний зв’язок між властивостями розв’язків диференціальних та відповідних різницевих рівнянь. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 – диференціальні рівняння. – Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2006.

Дисертаційна робота присвячена вивченню різницевих рівнянь та встановленню умов якісної відповідності між розв'язками диференціальних та відповідних різницевих рівнянь. Досліджено питання про обмеженість розв'язків диференціальних та відповідних різницевих рівнянь. Встановлено умови, за яких існування періодичного розв'язку диференціального рівняння зберігається, якщо розв'язок відповідного різницевого рівняння мав дану властивість. Встановлено зв'язок між дисипативністю диференціальної та різницевої систем, а саме наведено умови, за яких із дисипативності різницевого рівняння слідує дисипативність відповідного диференціального рівняння. Для системи різницевих рівнянь вказано умови існування та стійкості інваріантної множини. Досліджено зв'язок між інваріантними множинами систем диференціальних та різницевих рівнянь, тобто приведено умови існування інваріантної множини системи диференціальних рівнянь в термінах знакосталих функцій Ляпунова відповідної системи різницевих рівнянь. Також розглянуто питання існування додатно визначеної функції Ляпунова, похідна якої в силу системи недодатно визначена, для системи диференціальних рівнянь, яка має гладкий, стійкий, інваріантний многовид і множина нулів цієї функції співпадає з даним многовидом.

Дисертаційна робота присвячена вивченню різницевих рівнянь та встановленню умов якісної відповідності між розв'язками диференціальних та відповідних різницевих рівнянь.

Отримано результат, який показує, коли з існування обмеженого на всій осі розв'язку диференціального рівняння випливає існування обмеженого на розв'язку різницевого рівняння. Розглянуто обернену задачу.

Встановлено умови, при яких існування періодичного розв'язку диференціального рівняння зберігається, якщо розв'язок відповідного різницевого рівняння мав дану властивість.

Одержано умови дисипативності системи різницевих рівнянь в термінах невід'ємних функцій Ляпунова. Досліджено також і обернене питання, тобто визначено умови існування функції Ляпунова з певними властивостями для дисипативної системи різницевих рівнянь.

Встановлено зв'язок між дисипативністю диференціальної та різницевої систем, а саме наведено умови, при яких із дисипативності різницевого рівняння слідує дисипативність відповідного диференціального рівняння.

Для системи різницевих рівнянь вказано умови існування та стійкості інваріантної множини в термінах знакосталих функцій Ляпунова. Досліджено зв'язок між інваріантними множинами систем диференціальних та різницевих рівнянь.

Розглянуто питання існування додатно визначеної функції Ляпунова, похідна якої в силу системи недодатно визначена, для системи диференціальних рівнянь, яка має гладкий, стійкий, інваріантний многовид і множина нулів цієї функції співпадає з даним многовидом.

Публікації автора:

1. Станжицький О.М., Ткачук А.М. Про зв'язок між властивостями розв'язків різницевих та відповідних диференціальних рівнянь// Укр. мат. журн. - 2005. - т. 57, № 7. - С. 989 - 996.

2. Ткачук А.М. Інваріантні множини різницевих систем та їх стійкість// Нелінійні коливання. - 2005. - т. 8, № 2. - С. 258 - 264.

3. Станжицький О.М., Ткачук А.М. Дисипативність диференціальних та відповідних їм різницевих рівнянь// Укр. мат. журн. - 2006. - т. 58, № 9. - С. 1249 - 1256.

4. Ткачук А.М. Зв'язок між інваріантними множинами систем диференціальних та відповідних різницевих рівнянь// Нелінійні коливання. - 2006. - т. 9, № 2. - С. 280 - 285.

5. Ткачук А.М. Існування функції Ляпунова для дисипативних різницевих систем// Матеріали міжнародної конференції, присв. 60-річчю кафедри інтегральних і диференціальних рівнянь Київського національного університету імені Тараса Шевченка „Диференціальні рівняння та їх застосування”. - Київ, 2005. - С. 108.

6. Ткачук А.М. Дисипативність різницевих систем// Матеріали міжнародної конференції "Интегральные уравнения и их применения". - Одеса, 2005. - С. 144.

7. Ткачук А.М. Устойчивость инвариантных множеств систем разностных уравнений// Матеріали IX міжнародного семінару імені Е.С. Пятницького "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления". - Москва, 2006. - С. 262 - 264.

8. Ткачук А.М. Устойчивость и диссипативность систем разностных уравнений// Матеріали IX міжнародної конференції "Устойчивость, управление и динамика твердого тела". -Донецьк, 2005. - С. 31 - 32.

9. Ткачук А.М. Якісний зв'язок між розв'язками диференціальних та різницевих систем// Матеріали міжнародної конференції "Сучасні проблеми теорії ймовірностей та перспективи її розвитку". - Чернівці, 2005. - С. 113.

10. Ткачук А.М., Могильова В.В. Про зв'язок між періодичними розв'язками диференціальних та різницевих рівнянь// Матеріали X міжнародної наукової конференції імені академіка Михайла Кравчука. - Київ, 2004. - С. 183.

11. Tkachuk A., Mogylova V. The Existence of Liapunov's Function for the Invariant Manifolds Differential Equations// Матеріали міжнародної наукової конференції "Conference on Differential and Difference Equations and Applications". - Rajeck Teplice (Slovak Republic), 2006. - Р. 52.

12. Ткачук А.М. Про інваріантну множину збуреної системи різницевих рівнянь// Матеріали VIII Кримської міжнародної математичної школи, присвяченої пам'яті професора С.К.Персидського "Метод функций Ляпунова и его приложения". – Алушта (Крим), 2006. - С. 170.

13. Ткачук А.М. Про інваріантні множини систем диференціальних і відповідних різницевих рівнянь та зв'язок між ними// Матеріали міжнародної наукової конференції "Математичний аналіз і диференціальні рівняння та їх застосування". - Ужгород, 2006. - С. 114.