Анотація до роботи:

Леончик Є. Ю. Коливання функцій і диференційно-різницеві властивості сингулярних інтегралів. Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 - математичний аналіз. Одеський національний університет ім. І. І. Мечникова, Одеса, 2004.

В дисертації досліджуються оцінки середніх інтегральних коливань істотно обмежених функцій, властивості просторів, що визначаються в термінах середніх і нижніх інтегральних коливань; вивчається локальна гладкість сингулярних інтегралів та властивості деяких максимальних функцій.

Отримано точні оцінки середніх інтегральних коливань істотно і слабко обмежених функцій. Для цього було знайдені необхідна та достатня умови справедливості узагальненої нерівності М. П. Корнєйчука. Також отримано точну оцінку норми рівновимірного переставлення в просторі функцій з обмеженим нижнім коливанням.

Знайдено точні за порядком оцінки сингулярних інтегралів для випадків непарного і сумовного ядер в термінах максимальної функції Кальдерона, які уточнюють деякі відомі раніше аналогічні оцінки. Також отримано оцінку рівновимірного переставлення в термінах однієї максимальної функції, яка тісно зв'язана з умовою Макенхаупта. Досліджується поведінка в околі точки розриву максимальних функцій Харді-Літтлвуда та Феффермана-Стейна.

Перший розділ дисертаційної роботи присвячений вивченню властивостей середніх і нижніх коливань, а також дослідженню класів функцій, які визначаються в термінах таких коливань. Отримано точні оцінки середніх інтегральних коливань істотно і слабко обмежених функцій. У багатовимірному випадку ці оцінки доведені завдяки застосуванню рівновимірних переставлень. При доведенні використовувалась нерівність М. П. Корнєйчука. Також знайдені необхідна та достатня умови для справедливості цієї нерівності. Далі, у термінах рівновимірних переставлень отримана умова, що гарантує зникаюче середнє коливання функції, та необхідна і достатня умова обмеженості нижнього коливання. Знайдено точну оцінку норми рівновимірного переставлення в просторі функцій з обмеженим нижнім коливанням.

У другому розділі вивчається локальна гладкість згортки. Отримано точні за порядком оцінки для випадків непарного і сумовного ядер в термінах максимальної функції Кальдерона, які уточнюють деякі відомі раніше аналогічні оцінки. Також розглянута одна спеціальна максимальна функція, яка вимірює локальну гладкість. Отримано оцінку рівновимірного переставлення в термінах цієї максимальної функції, з якої, зокрема, випливає одна відома лема Макенхаупта. Досліджується поведінка в околі точки розриву максимальних функцій Харді-Літтлвуда і Феффермана-Стейна. Побудовано приклади, що показують остаточність результатів.

Публікації автора:

1. Леончик Е. Ю. Об одном неравенстве из теории приближения // Укр. мат. журн. - 2003. - Т. 55, № 11. - C. 1580-1585.

2. Leonchik E. Some conditions implying BLO, VMO, boundedness and continuity // Matematychni Studii. - 2003. - Vol. 20, № 1. - P. 27-32.

3. Леончик Е. Ю. Об оценке локальной гладкости сингулярных интегралов // Известия ВУЗов. Матем. - 2003. - Т. 490, № 3. - С. 20-30.

4. Леончик Е. Ю. О поведении максимальной функции Харди-Литтлвуда в точке разрыва // Вiсник Одеськ. держ. ун-ту. - 2000. - Т. 5, вип. 3, фiз.-мат. науки. - С. 12-17.

5. Леончик Е. Ю. О поведении максимальной функции Харди-Литтлвуда в точке разрыва // Abstracts of conference "Functional Methods in Approximation Theory, Stochastic Analysis and Statistics". Kyiv: Kyiv National Taras Shevchenko Uneversity. - 2001. - P. 41-42.

6. Леончик Е. Ю. Об одном неравенстве из теории приближения // Матерiали IX Мiжнародної наукової конференцiї iм. академiка М. Кравчука. - Київ: Iнститут математики НАН України. - 2002. - С. 316.

7. Леончик Е. Ю. Об одном неравенстве из теории приближения // Book of abstracts of International Conference dedicated to the 110^th anniversary of Stefan Banach "Functional Analysis and its Applications". Lviv: Lviv Ivan Franko National University. - 2002. - P. 226.