Анотація до роботи:

Попов П.А. Коопукле і знакозберігаюче наближення періодичних функцій. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 - математичний аналіз. - Інститут математики НАН України, Київ, 2004.

Дисертацію присвячено питанням формозберігаючого (а саме, коопуклого і знакозберігаючого) наближення періодичних функцій тригонометричними поліномами. Доведено, що для коопуклого наближення має місце аналог класичної теореми Джексона апроксимації без обмежень. Встановлено непокращуваність вигляду сталих в цій оцінці. Для випадку, коли поліном інтерполює функцію в заданому наборі її нулів, доведено нерівність Джексона із сталою, що залежить тільки від кількості цих нулів на періоді. Доведено також, що для знакозберігаючого наближення мають місце перша і друга нерівності Джексона, проте оцінки типу Джексона з модулями неперервності порядку вище третього не виконуються.

Дисертацію присвячено дослідженню коопуклого і знакозберігаючого наближення періодичних функцій тригонометричними поліномами.

В першому розділі зроблено огляд результатів, що мають безпосереднє відношення до змісту дисертації.

Другий розділ присвячено коопуклому наближенню. В ньому для величини найкращого рівномірного коопуклого наближення кусково-опуклої функції що змінює опуклість в точках набору доведено наступну оцінку:

де - стала, яка залежить лише від тобто від кількості точок зміни опуклості функції на періоді, а - стала, що залежить від набору

В другому розділі доведено також, що ця оцінка не матиме місця, якщо сталі та залежатимуть тільки від .

В третьому розділі досліджується знакозберігаюче наближення.

Спочатку отримано наступний результат. Якщо -періодична неперервна функція, яка має заданий набір нулів причому на проміжку лежить точок набору то для кожного натурального можна побудувати тригонометричний поліном порядку який наближає функцію з оцінкою

де - стала, яка залежить лише від

За допомогою цього результату доведено, що для величини найкращого знакозберігаючого наближення функції має місце нерівність Джексона

де - стала, яка залежить лише від

В третьому розділі також доведено, що для знакозберігаючого наближення має місце і друга нерівність Джексона. А саме, встановлено оцінку

де - стала, що залежить лише від і - стала, що залежить від і

Наслідком цієї оцінки є нерівність

де - стала, що залежить лише від і - стала, що залежить від і

Нарешті, в останньому підрозділі третього розділу для кожного і набору точок побудовано кусково-знакосталу функцію для якої точки набору є точками зміни знаку, і для якої має місце

Публікації автора:

1. Плешаков М.Г., Попов П.А. Знакосохраняющее приближение периодических функций // Укр. матем. журн. - 2003. - Т. 55, № 8. - С. 1087 - 1098.

2. Плешаков М.Г., Попов П.А. Второе неравенство Джексона в знакосохраняющем приближении периодических функций // Укр. матем. журн. - 2004. - Т. 56, № 1. - С. 123 - 128.

3. Попов П.А. Аналог нерівності Джексона для коопуклого наближення періодичних функцій // Укр. матем. журн. - 2001. - Т. 53, № 7. - С. 919 - 928.

4. Попов П.А. Один контрприклад в коопуклому наближенні періодичних функцій // Праці Інституту математики НАН України: Т. 35: Теорія наближення функцій та суміжні питання / К.: Ін-т. математики НАН України, 2002. - 233 с. / с. 113 - 118.

5. Попов П.А. Про коопукле наближення періодичних функцій // Український математичний конгрес 2001. Тези доповідей. - Київ. - 2001. - С. 47.

6. Попов П.А. Один контрприклад в знакозберігаючому наближенні періодичних функцій // Міжнародна наукова конференція "Шості Боголюбовські читання". Тези доповідей. - Чернівці. - 2003. - С. 186.