Анотація до роботи:

Михайлюк В.В. Координатний метод і теорія нарізно неперервних відображень. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фiзико-математичних наук за спецiальнiстю 01.01.01 – математичний аналiз. – Львiвський нацiональний унiверситет iменi Iвана Франка, Львiв, 2009.

Дисертація присвячена дослідженню питань, пов’язаних з нарізно неперервними відображеннями та їх аналогами (залежність від певної кількості координат, побудова функцій з даним звуженням чи даною множиною точок розриву, берівська та лебеґівська класифікації, вивчення властивостей множини точок сукупної неперервності, розв’язування диференціальних рівнянь в класі нарізно диференційовних функцій). Головним здобутком роботи є запропонований автором підхід, який дістав назву "координатного методу". Він дав можливість розв’язати різні задачі теорії нарізно неперервних відображень та узагальнити деякі раніше одержані результати.

Результати дисертаційної роботи мають теоретичний характер і можуть бути використанi в загальнiй теорiї функцiй, топологiї та функцiональному аналiзi.

Дисертаційна робота присвячена дослідженню зв’язків між нарізними і сукупними властивостями нарізно неперервних відображень та їх аналогів, вивченню питань, пов’язаних з берівською та лебеґівською класифікаціями таких відображень, розв’язуванню диференціальних рівнянь з частинними похідними при мінімальних вимогах і дослідженню питань розкладу операторів на просторі . Основним своїм здобутком автор вважає розроблений ним координатний метод, який разом з використанням інших технічних прийомів та ідей виявився застосовним до розв’язання багатьох задач теорії нарізно неперервних відображень.

В дисертаційній роботі отримано наступні нові результати.

1. Встановлено необхідні умови і достатні умови залежності нарізно неперервних функцій на добутках від певної кількості координат. Зокрема, для зліченно компактних просторів отримано характеризацію такої залежності.

2. Досліджено властивості хрест-топології, з допомогою яких отримано узагальнення теореми Серпінського про те, що кожне нарізно неперервне відображення однозначно визначається своїми значеннями на щільній в добутку множині.

3. Отримано результати про побудову нарізно неперервної функції з даним звуженням, звідки, зокрема, випливає загальне розв’язання задачі про побудову нарізно неперервної функції змінних з даною діагоналлю -го класу Бера для довільних топологічних просторів.

4. Узагальнено теорему Бера про характеризацію функцій першого класу Бера в термінах точково розривних функцій на випадок спадково берівських досконалих паракомпактів.

5. Встановлено рівність для компактів Валдівіа і лінійно впорядкованих компактів, що, зокрема, дає відповіді на два питання О. Окунєва і В. Ткачука.

6. Показано, що кожний лінделефовий підпростір цілком регулярного простору з -властивістю можна неперервно бієктивно відобразити на сепарабельний метризовний простір.

7. Побудовано приклад несепарабельного цілком регулярного простору з -властивістю і умовою зліченності ланцюжків, що дає негативну відповідь на одне питання М. Бурке.

8. Встановлено, що кожний слабко морановий простір є наміоковим, що дає позитивну відповідь на одне питання Ґ. Вери.

9. Введено клас --несприятливих просторів і встановлено наміоковість кожного --несприятливого простору, що узагальнює одержані раніше в термінах топологічних ігор результати.

10. Введено поняття сильно берівського простору, і показано, що кожний сильно берівський простір є наміоковим.

11. Встановлено конаміоковість кожного лінійно впорядкованого компакта.

12. Показано, що кожний компакт Валдівіа є простором Кемпістого.

13. Встановлено, що добуток довільної сім’ї компактних просторів Кемпістого також є простором Кемпістого.

14. Показано, що існування нарізно неперервної функції на добутку двох довільних цілком регулярних просторів з даною одноелементною -множиною точок розриву, яка має неізольовані проекції, не залежить від -аксіом.

15. Встановлено в термінах збіжних послідовностей функціонально відкритих множин необхідні і достатні умови існування нарізно неперервної функції на добутку компактних просторів з даною одноелементною множиною точок розриву.

16. Розв’язано на добутку двох компактних просторів обернену задачу теорії нарізно неперервних відображень для сепарабельних досконалих проективно ніде не щільних функціонально замкнених множин і ослаблену обернену задачу для функціонально замкнених проективно ніде не щільних множин.

17. Побудовано приклад, який показує, що одержані раніше В. Маслюченком і автором теореми про опис множин точок розриву нарізно неперервних функцій на добутку двох просторів, що є добутками сімей метризовних компактів, не можна перенести на добуток двох компактів Еберлейна.

18. Побудовано -приклад, який вказує на те, що одержані раніше О. Маслюченком розв’язання оберненої задачі для компактів Еберлейна не можна перенести на випадок сепарабельних компактів Валдівіа.

19. У зв’язку з проблемою Талаґрана побудувано приклад скрізь розривної нарізно неперервної функції на добутку -сприятливого простору і зліченно компактного щільного підпростору простору і встановлено деякі рівносильні переформулювання беровості простору ;.

20. В класі нарізно диференційовних функцій дано опис розв’язків рівняння , що дає позитивну відповідь на питання Р. Бера і П. Чернова.

21. З допомогою введеної автором допоміжної функції і розробленої оригінальної техніки одержано теорему про розклад операторів на просторі на репрезентовний доданок і доданок з "масивним" образом.

Для обґрунтування результатів дисертації використовуються координатний метод, категорний метод, локально скінченні системи та розбиття одиниці і інші методи загальної теорії функцій і функціонального аналізу.

Результати дисертаційної роботи носять теоретичний характер, можуть бути використані в загальній теорії функцій, функціональному аналізі та теорії операторів і знаходяться на передньому краї сучасної математичної науки.

Публікації автора:

1. Залежність від координат нарізно неперервних функцій на добутках компактів / В. В. Михайлюк // Укр. мат. журн. – 1998. – Т. 50, № 9. – С. 822-829.

   До проблеми Талаґрана / О. В. Маслюченко, В. В. Михайлюк // Наук. вiсн. Чернiв. ун-ту. Вип. 46. Математика. – Чернiвцi: ЧДУ, 1999. – С. 95-99.

   Топологія нарізної неперервності та одне узагальнення теореми Серпінського / В. В. Михайлюк // Мат. студії. – 2000. – Т. 14, № 2. – C. 193-196.

   Берiвська класифiкацiя точково розривних функцiй / В. В. Михайлюк // Наук. вiсн. Чернiв. ун-ту. Вип. 76. Математика. – Чернівці: ЧДУ, 2000. – С. 77-79.

   Paracompactness and separately continuous mappings / O. V. Maslyuchenko, V. K. Maslyuchenko, V. V. Mykhaylyuk, O. V. Sobchuk // General Topology in Banach spaces, Nova Sci. Publ., Nantintong - New-York. – 2001. – P. 147-169.

   Побудова нарізно неперервних функцій з даним звуженням / В. В. Михайлюк // Укр. мат. журн. – 2003. – Т. 55, № 5. – С. 716-721.

   Неперевність функцій з неперервними звуженнями / О. В. Євстаф’євич, В. В. Михайлюк // Наук. вiсн. Чернiв. ун-ту. Вип. 160. Математика. – Чернівці: Рута, 2003. – С. 60-64.

   Нарізно неперервні функції на добутках і їх залежність від координат / В. В. Михайлюк // Укр. мат. журн. – 2004. – Т. 56, № 10. – С. 1357-1368.

   Берівська класифікація нарізно неперервних функцій і залежність від зліченного числа координат / В. В. Михайлюк, О. В. Собчук // Наук. вiсн. Чернiв. ун-ту. Вип. 191-192. Математика. – Чернівці: Рута, 2004. – С. 116-118.

   Узагальнення одного результату Вери / В. В. Михайлюк // Наук. вісн. Чернівецького ун-ту. Вип. 228. Математика. – Чернівці: Рута, 2004. – С. 86-88.

   Одноточкові розриви нарізно неперервних функцій на добутку двох компактних просторів / В. В. Михайлюк // Укр. мат. журн. – 2005. – Т. 57, № 1. – С. 94-101.

   Namioka spaces and topological games / V. V. Mykhaylyuk // Bull. Austral. Math. Soc. – 2006. – V. 73. – P. 263-272.

   The Namioka property of -functions and Kempisty spaces / V. V. Mykhaylyuk // Topology Appl. – 2006. – V. 153. – P. 2455-2461.

   Some Geometric Aspects of Operators Acting from / V. V. Mykhaylyuk, M. M. Popov // Positivity. – 2006. – V. 10. – P. 431-466.

   Простори Наміоки і сильно берівські простори / В. В. Михайлюк // Мат. студії. – 2006. – Т. 26, № 1. – С. 55-64.

   Побудова нарізно неперервних функцій від змінних з даним звуженням / В. В. Михайлюк // Укр. мат. вісник. – 2006. – Т. 3, № 3. – С. 374-381.

   Про оператор переходу до поточкової границі / В. К. Маслюченко, В. В. Михайлюк, В. В. Нестеренко // Наук. вісн. Чернівецького ун-ту. Вип. 288. Математика. – Чернівці: Рута, 2006. – С. 77-79.

   Metrizable compacta in the space of continuous functions with the topology of pointwise convergence / V. V. Mykhaylyuk // Acta Math. Hungarica. – 2007. – V. 117, № 4. – P. 315-323.

   Discontinuous separately continuous functions and near coherence of -filters / T. O. Banakh, O. V. Maslyuchenko, V. V. Mykhaylyuk // Real Anal. Exch. – 2007. – V. 32, № 2. – P. 335-348.

   Lebesque measurability of separately continuous functions and separability / V. V. Mykhaylyuk // International Journal of Mathematics and Math. Sciences. – 2007. – 4 p.

   Лінійно впорядковані компакти і конаміокові простори / В. В. Михайлюк // Укр. мат. журн. – 2007. – Т. 59, № 7. – С. 1001-1004.

   The set of discontinuity points of separately continuous functions on the products of compact spaces / V. V. Mykhaylyuk // Methods of Func. Anal. and Top. – 2007. – V. 13, № 3. – P. 284-295.

   Берівська класифікація частинних похідних / В. В. Михайлюк // Мат. вісник НТШ. – 2007. – Т. 4. – С. 220-226.

   Берівська класифікація нарізно напівнеперервних і монотонних функцій / В. В. Михайлюк // Наук. вісн. Чернівецького ун-ту. Вип. 349. Математика. – Чернівці: Рута, 2007. – С. 95-97.

   Про питання, пов’язані з проблемою Талаґрана / В. В. Михайлюк // Мат. студії. – 2008. – Т. 29, № 1. – С. 81-88.

   Solving of partial differential equations under minimal conditions / V. K. Maslyuchenko, V. V. Mykhaylyuk // Journal of Mathematical Physics, Analysis, Geometry. – 2008. – V. 4, № 2. – P. 252-266.

   Берівська класифікація нарізно неперервних функцій і властивість Наміоки / В. В. Михайлюк // Укр. мат. вісник. – 2008. – Т. 5, № 2. – С. 203-218.

   Побудова нарізно неперервних функцій з даним звуженням / В. В. Михайлюк // Міжнар. конф. "Диф. рівн. і нелінійні коливання", 27-29 серпня 2001 року. Тези доповідей. – Київ, 2001. – С. 112.

   Sufficient conditions of the dependence on coordinates of separately continuous functions of products / V. V. Mykhaylyuk // Internat. Conf. on Funct. Analysis and its Appl. Dedic. to the 110-th ann. of Stefan Banach. May 28-31, 2002, Lviv. – P. 142-143.

   Властивість Наміоки -функцій / В. В. Михайлюк // Міжнар. конф. "Комплексний аналіз і його застосування", 26-29 травня 2003р. Тези доповідей. – Львів, 2003. – С. 49-50.

   Нарізно неперервні функції на добутку компактів з одноточковою множиною точок розриву / В. В. Михайлюк // Міжнар. конф. "Шості Боголюбівські читання", 26-30 серпня 2003р. Тези доповідей. – Київ, 2003. – С. 153.

   Про поточкові границі нарізно неперервних функцій / В. К. Маслюченко, В. В. Михайлюк, В. В. Нестеренко // Матеріали міжнар. наук.-пр. конф. "Інтелектуальні системи прийняття рішень та інформаційні технології". (19 - 21 травня 2004 р.). Тези доповідей. – Чернівці, 2004. – С. 78-79.

   Pointwise finite families in spaces of continuous functions on the Eberlein compactum / V. V. Mykhaylyuk // Міжнар. конф. "Геометрична топологія: нескінченновимірна топологія, абсолютні екстензори, застосування", 26 - 30 травня 2004р. Тези доповідей. – Львів, 2004. – С. 46-47.

   Сильно берівські простори і простори Наміоки / В. В. Михайлюк // Міжнар. конф., присвячена 125 річниці від дня народження Ганса Гана, 27 червня-3 липня 2004р. Тези доповідей. – Чернівці, 2004. – С. 76-77.

   Простори Наміоки і топологічні ігри / В. В. Михайлюк // Міжнар. конф. пам’яті В.Я.Буняковського, 16-21 серпня 2004р. Тези доповідей. – Київ, 2004. – С. 100-101.

   Метризовні компакти в просторі неперервних функцій / В. В. Михайлюк // Міжнар. конф. ім. В.Я.Скоробогатька, 27 вересня - 1 жовтня 2004р. Тези доповідей. – Львів, 2004. – С. 146.

   Лінійно впорядковані компакти і точково скінченна клітковість / В. В. Михайлюк // Міжнародна конференція "Математичний аналіз і суміжні питання"(17-20 листопада, 2005 р.). Тези доповідей. – Львів, 2005. – С. 75.

   Моранові простори і властивість Наміоки / В. В. Михайлюк // Міжнар. конф. "Математичний аналіз і диференціальні рівняння та їх застосування", 18-23 вересня 2006 р., Ужгород. Тези доповідей. – Київ, 2006. – С. 74.

   -простори та сепарабельність / В. В. Михайлюк // Міжнар. конф. "Диференціальні рівняння та їх застосування", 11-14 жовтня 2006 р. Тези доповідей. – Чернівці: Рута, 2006. – С. 108.

   Диференціальні рівняння в частинних похідних з мінімальними вимогами / В. К. Маслюченко, В. В. Михайлюк // Bogolyubov readings 2007 dedicated to Yu.A.Mitropolskii on the occasion of his 90-th birthday. Ukraine, Zhitomir - Kiev, 19 august - 2 september 2007. Program and abstracts. – K.:2007. – P. 82-83.

   Про розриви нарізно неперервних функцій на добутках компактів / В. В. Михайлюк // Міжнародна конференція ім. В.Я.Скоробагатька (24-28 вересня 2007 р.). Тези доповідей. – Львів, 2007. – С. 194.

   The Baire classification of partial derivatives of function of two variables / V. V. Mykhaylyuk // International conference "Analysis and topology", June 2-7, 2008. Abstracts Part II. Topology. – Lviv, 2008. – P. 44.