Анотація до роботи:

Гречко А.Л. Критерії існування обмежених розв’язків неоднорідних лінійних розширень динамічних систем. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 – диференціальні рівняння. Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2008.

Дисертаційна робота присвячена дослідженню питань існування нетривіальних обмежених на всій осі розв’язків неоднорідних лінійних розширень

динамічних систем та вивченню якісної поведінки монотонних лінійних розширень на нетривіальних векторних розшаруваннях. Розглядаються також питання існування функції Гріна-Самойленка лінійних розширень динамічних систем на торі.

В дисертаційній роботі досліджено питання існування обмежених на всій осі нетривіальних розв’язків лінійних розширень динамічних систем. Встановлено, що якісна класифікація лінійних неоднорідних розширень за ознакою існування обмежених розв’язкі цілком описується в скалярному випадку інтегралами по ергодичних компонентах базового потоку лінійного розширення. Отримані результати є якісним доповненням (якщо розглядати з точки зору якісної теорії диференціальних рівнянь) до вже відомих загальних критеріїв, отриманих із застосуванням знакозмінних функцій Ляпунова. Для монотонних лінійних розширень доведено існування одновимірного інваріантного многовида та експоненційній роздільності лінійного розширення на нетривіальному векторному розшаруванні. Також встановлен зв'язок з питаннями слабкої (квазі) регулярності лінійних розширень, тобто питаннями які розглядались в попередніх параграфах.

В дисертаційній роботі також досліджені питання регулярності блочно-трикутних лінійних розширень динамічних систем, діагональних збурень деяких регулярних класів лінійних розширень динамічних систем. Доведені необхідні умови слабкої регулярності лінійних розширень, лінеаризованих за частиною змінних, також розглядається суміжне з цим питання блочної діагоналізації лінійних розширень.

В дисертаційній роботі досліджено питання існування обмежених на всій осі нетривіальних розв'язків та існування функції Гріна-Самойленка лінійних розширень динамічних систем. Основні результати роботи полягають в наступному.

1. Вперше встановлено, що якісна класифікація лінійних неоднорідних

розширень динамічних систем за ознакою існування обмежених розв'язків цілком описується в одновимірному випадку якісною поведінкою

динамічної системи на центрі тяжіння Хільмі та інтегралами по ергодичних компонентах базового потоку лінійного розширення.

2. Отримано нові ефективні критерії існування обмежених розв’язків неоднорідних лінійних розширень динамічних систем та узагальнено метод О. Перрона дослідження обмежених розв’язків n – вимірного лінійного розширення динамічної системи.

3. Для монотонних лінійних розширень на нетривіальних векторних розшаруваннях доведено існування одновимірного інваріантного многовиду та експоненціальної роздільності лінійного розширення, що є розвиненням теореми Полачіка-Терещака на випадок нетривіального векторного розшарування. Також вперше встановлено зв'язок якісних властивостей монотонних лінійних розширень з питаннями слабкої (квазі) регулярності монотонних лінійних розширень.

4. Узагальнено критерій регулярності блочно-трикутних лінійних розширень

динамічних систем на торі, вперше розглянуто питання діагональних збурень деяких регулярих класів лінійних розширень динамічних систем.

5. Знайдена нова необхідна умова слабкої регулярності лінійних розширень динамічної системи на торі, лінеаризованих за частиною змінних, а також розглянуто суміжне з цим питання блочної діагоналізації лінійних розширень.

Публікації автора:

1. Гречко А.Л., До питання про розділення нормальних змінних в лінійних розширеннях динамічних систем на торі // Інтегральні перетворення та їх застосування до крайових задач: Зб. наук. пр. - Інст. м-ки, Київ, 1996, вип.13, - С. 255-259.

2. Гречко А.Л., Про необхідні умови слабкої регулярності лінійного розширення динамічної системи на торі // Укр. матем. журн. - 1998.- т.50, №3. - С. 424-425.

3. Гречко А.Л., Діагональні збурення регулярних розширень динамічних систем на торі // Нелін. коливання. - 2000. - Т.3, - С. 36-43.

4. Гречко А.Л., Про обмежені розв'язки лінійних розширень динамічних систем // Наук. Вісті НТУУ "КПІ". - 2003. - №4, - С. 131-136.

5. Гречко А.Л., К вопросу диагонального возмущения линейного

расширения динамических систем на торе// Четвертая Крымская межд. Матем. школа "Метод функций Ляпунова".- Крым, Алушта: 1998.- С. 22-23.

6. Гречко А.Л., Критерії слабкої регулярності лінійних розширень динамічних систем// Десята міжнародна наукова конференція імені академіка М.Кравчука. Матеріали конференції. Київ, 2004. - С. 82.

7. Гречко А.Л., До питання квазірегулярності лінійних розширень динамічних систем// Одинадцята міжнародна наукова конференція імені академіка М.Кравчука. Матеріали конференції. Київ, 2006. - С. 397.

8. Grechko A., On invariant manifolds of linear nonhomogeneous extension of flows// Inter. Conference “Dynamical systems: modeling and stability investigation” ( DSMSI-1999). - Kiev, May 1999, Р.95.