Анотація до роботи:

ІЧАНСЬКА Н.В. “ Ліївська та умовна симетрії деяких нелінійних еволюційних рівнянь ”. — Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико–математичних наук зі спеціальності 01.01.02 — диференціальні рівняння. Інститут математики НАН України, Київ, 2005.

Дисертацію присвячено дослідженню симетрійних властивостей нелінійних еволюційних рівнянь та знаходженню їх точних розв’язків. Досліджено -умовну симетрію (1+2)-вимірних рівнянь теплопровідності. Розв’язано обернену задачу симетрійної класифікації і побудовано нелінійні еволюційні рівняння та системи -го порядку інваріантні відносно розширеної конформної алгебри. Досліджено симетрійні властивості системи рівнянь теорії проникання, що описує адіабатичний рух нев’язкої стисливої рідини у випадку відсутності та наявності масових сил при наявності та відсутності осьової симетрії. Проведена повна класифікація квазілінійних систем еволюційних рівнянь третього порядку інваріантних відносно алгебри Галілея та її розширень операторами масштабних та проективних перетворень.

Вивчення симетрійних властивостей рівнянь і систем диференціальних рівнянь та класифікація їх у залежності від вигляду нелінійностей є однією з найважливіших проблем теорії диференціальних рівнянь. Особливу увагу привертають задачі про знаходження інваріантних розв’язків рівнянь та систем. Реалізація таких задач і проводилась у дисертаційній роботі.

Основними результатами, які отримано в дисертації є наступні:

1. Для (1+2)-вимірних нелінійних рівнянь теплопровідності проведено повний опис операторів -умовної інваріантності. Отримані оператори використано для редукції відповідних рівнянь до диференціальних рівнянь з двома незалежними змінними.

2. Проведено вичерпний опис інволютивних множин -умовних операторів вигляду , та . Запропоновано деякі, суттєво нові, розв’язки цього рівняння.

3. Розв’язано обернену задачу симетрійної класифікації для еволюційних рівнянь та систем довільного порядку. Побудовано нелінійні еволюційні рівняння та системи довільного порядку, що інваріантні відносно розширеної конформної алгебри.

4. Розв’язано задачу групової класифікації класів еволюційних рівнянь (6)–(8) другого, третього та довільного порядків, відповідно. Для рівняння, що виокремлюється найширшою симетрією в класі рівнянь другого порядку, проведено редукцію та побудовано деякі класи точних розв’язків.

5. Досліджено симетрійні властивості системи рівнянь теорії проникання, що описує адіабатичний рух нев’язкої стисливої рідини у випадку відсутності та наявності масових сил, встановлено нелінійності, при яких дана система інваріантна відносно узагальненої алгебри Галілея у випадках наявності та відсутності осьової симетрії.

6. Проведено повну класифікацію квазілінійних систем еволюційних рівнянь третього порядку інваріантних відносно алгебри Галілея та її розширень операторами масштабних та проективних перетворень.

Публікації автора:

1. Ічанська Н.В. Галілеївська інваріантність нелінійної системи еволюційних рівнянь третього порядку // Вісник Київського університету. — 2004. — Т. 1. — С. 92–112.

2. Андреєва Н.В. Cиметрійні властивості нелінійної системи рівнянь параболічного типу // Симетрійні та аналітичні методи в математичній фізиці: Зб. наук. пр. НАН України. Інститут математики. — 1998. — Т. 19. — С. 10–13.

3. Сєров М.І., Ічанська Н.В. Симетрійні властивості, редукція та точні розв’язки системи рівнянь типу Кортевега–де Фріза // Доповіді НАН України. — 2000. — № 10. — C. 31–35.

4. Serova M., Andreeva N. Evolution equations invariant under the conformal algebra // Proceedings of the Second International Conference "Symmetry in Nonlinear Mathematical Phisics". — Kyiv: Institute of Mathematics. — 1997. — Vol. 1. — P. 217–221.

5. Сєров М.І., Тулупова Л.О., Ічанська Н.В. Симетрійні властивості та редукція системи рівнянь Деві–Стюардсона // Праці Інституту математики НАН України. — 2001. — Т. 36. — С. 247–253.

6. Сєрова М.М., Ічанська Н.В. Інваріантність рівнянь теорії проникання відносно розширеної алгебри Галілея // Вісник Київського університету. — Вип. 4. — 2000. — С. 107–111.

7. Сєров М.І., Тулупова Л.О., Андреєва Н.В. -умовна симетрія нелінійного двовимірного рівняння теплопровідності // УМЖ. — 2000. — Т. 52, № 6 — С. 846–849.

8. Сєрова М.М., Андреєва Н.В. Cиметрійні властивості узагальненого рівняння Гарі–Діма // Тези доповідей Всеукраїнської наукової конференції "Нові підходи до розв’язання диференціальних рівнянь", присвяченій 70-річчю від дня народження професора В.Скоробагатька, 15–19 вересня 1997р., м. Дрогобич. — Київ: Інститут математики НАН України. — 1997. — С. 100.

Анотації