Міненко Олександр Степанович. Математичне моделювання руху рідини та теплофізичних процесів в середовищах з вільною межею : Дис... д-ра наук: 01.05.02 - 2009.
Анотація до роботи:
МІНЕНКО О.С. Математичне моделювання руху рідини та теплофізичних процесів в середовищах з вільною межею - Рукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальні методи. – Інститут кібернетики імені В.М.Глушкова НАН України, Київ, 2009.
Дисертація присвячена задачам з вільною межею, що виникають в багатьох областях природничих наук і мають варіаційну природу. Це дозволяє на єдиній методологічній основі досліджувати широкий клас нелінійних граничних проблем: задачі типу Бернуллі в плоскому й осьосиметричному випадках; двовимірні задачі типу Стефана в стаціонарному і квазістаціонарному режимах. За допомогою розробленого математичного апарату встановлюються властивості гладкості розв’язку граничних задач й доводиться аналітичність вільних меж. Обґрунтовується застосування методу Рітца для побудови наближених розв’язків, що збігаються до точних розв’язків, в різноманітних метриках.
Досліджується також просторова стаціонарна й нестаціонарна задачі теплопровідності з урахуванням конвективного руху в рідинній фазі. Запропоновано метод вивчення цієї задачі, що полягає в розкладанні рішення в ряд за степенями малого параметра числа Рейнольдса. Отримано рівняння вільної поверхні в залежності від числа Рейнольдса Re.
Дисертаційна робота є новим комплексним дослідженням, в якому розроблені наближені й аналітичні методи дослідження нелінійних математичних моделей з вільною межею, що мають теплофізичне або гідродинамічне походження.
Основні результати дослідження:
Обґрунтовано коректність класу нелінійних математичних моделей, що мають варіаційну природу (побудова загальної методики доведення існування та єдиності розв’язань, встановлення властивостей гладкості, включаючи аналітичність вільних меж):
побудовані нелінійні математичні моделі теплофізичних і гідродинамічних процесів з вільною межею;
при дослідженні математичних моделей з вільними межами, що мають варіаційну природу, запропоновано підхід, який дозволяє на єдиній методологічній основі вивчити широкий клас нелінійних задач: задачі типу Бернуллі в плоскому й осьосиметричному випадках, двомірні задачі типу Стефана в стаціонарному та квазістаціонарному режимах, однофазні й двофазні;
доведено існування класичного розв’язання для класу задач потенціальної та вихрової течії рідини з вільною межею типу Бернуллі в плоскому й осьосиметричному випадках;
в основу доведення єдиності розв’язання досліджуваного класу задач покладено додатну визначеність другої варіації інтегрального функціонала (вихідні крайові задачі є еквівалентними проблемі мінімуму декотрих інтегральних функціоналів).
II. Доведено метод аналітичності вільної межі у випадку, коли нормальна похідна шуканого розв’язку на дорівнює , де - аналітична функція змінних та :
В основі доведення аналітичності вільної межі покладено розв’язуваність системи інтегральних рівнянь. Методом послідовних наближень доведено існування та єдиність розв’язання в класі аналітичних функцій комплексної змінної (доведення нагадує метод Пікара в теорії звичайних диференційних рівнянь).
III. Побудовані алгоритми розв’язання нелінійних крайових задач варіаційного походження методом Рітца:
при мінімізації функціоналів на припустимих множинах функцій методом Рітца в кожному випадку розв’язується проблема апроксимації припустимих елементів багаточленами;
вперше застосовано метод Рітца для мінімізації функціоналів з невідомою областю інтегрування та розроблено метод оцінювання швидкості збіжності функціонала при наближеннях Рітца до точної нижньої межі;
доведено розв’язність всіх систем Рітца одночасно;
доведено збіжність наближень Рітца до точного розв’язку у двофазній стаціонарній задачі Стефана в (в однофазній задачі має місце збіжність в С та ); побудовано алгоритм оцінювання швидкості збіжності наближеного розв’язку до точного розв’язку в задачах Бернуллі;
отримано збіжність наближень Рітца в осьосиметричному випадку в задачі типу Бернуллі в інтегральній метриці;
узагальнено методику Л.В.Канторовича, що застосовується для квадратичних функціоналів при доведенні збіжності наближень Рітца в просторі С.
Запропоновано алгоритм наближеного аналізу конвективної задачі Стефана в стаціонарному та нестаціонарному випадках на площині і в просторі:
вивчено вплив конвекції на фронт кристалізації в плоскому стаціонарному випадку;
отримано рівняння вільної поверхні в залежності від чисел Рейнольдcа в стаціонарному і нестаціонарному випадках у просторі;
розроблено метод розв’язання задач спряження, що виникають при дослідженні стаціонарних і нестаціонарних задач Стефана на площині і в просторі;
вперше застосовано метод малого параметру при наближеному розв’язанні конвективних задач Стефана на площині і в просторі.
Обраний метод Рітца, наближеного розв’язання нелінійних задач, може бути використаний при мінімізації нелінійних інтегральних функціоналів, з обґрунтуванням збіжності наближень Рітца до точного розв’язку.
Розроблена схема розрахунку поля швидкостей й температурних полів може бути використана при наближеному розв’язанні конвективних задач Стефана двовимірних та тривимірних, стаціонарних та нестаціонарних.
Запропоновано підхід, який дозволяє здійснити якісні дослідження вільної поверхні у тривимірних конвективних задачах теплопровідності з вільною межею. В основу цієї методики покладено розкладання розв’язку в ряд за степенями малого параметру (у нашій ситуації це число Рейнольдса або інтенсивність вихру). При цьому розв’язок вихідної нелінійної задачі замінюється розв’язком ряду задач вже у відомій області.
Деякі результати роботи знайшли застосування в курсах „Варіаційне числення” й „Чисельні методи”, що читаються в Державному університеті інформатики та штучного інтелекту.
Публікації автора:
Миненко А.С., Шевченко А.И. Об одной проблеме Стефана // Доповіді НАН України. – 2008. – № 1 – С. 26 – 30.
Миненко А.С. Приближенный анализ конвективной пространственной нестационарной задачи Стефана // Искусственный интеллект-2007. - № 4. - С. 553-561.
Миненко А.С. Исследование конвективной стационарной задачи Стефана // Искусственный интеллект. – 2007. – № 3. – С. 476 – 480..
Миненко А.С. Исследование одной конвективной задачи Стефана методом Ритца // Укр. мат. журнал. 2007. – 59, № 11. – С. 1546 – 1556.
Миненко А.С., Шевченко А.И. Приближенный анализ одной пространственной конвективной задачи теплопроводности // Доповіді НАН України. – 2007. – № 7. – С. 22 – 27.
Миненко А.С., Шевченко А.И. Исследование конвективного теплопереноса в одной пространственной задаче теплопроводности // Доповіді НАН України. – 2007. – № 9. – С. 25 – 29..
Миненко А.С., Шевченко А.И. Об одной проблеме минимума со свободной границей // Доповіді НАН України.–2007. – № 11 – С. 29 – 33..
Миненко А.С. О минимизации одного интегрального функционала методом Ритца // Укр. мат. журнал. 2006. – 58, №10. – С. 1385 – 1394.
Миненко А.С. Вариационные задачи со свободной границей. – Киев: Наукова думка, 2005. – 354 с
Миненко А.С. Аналитичность свободной границы в одной задаче осесимметричного течения // Укр. мат. журнал. – 1998. – 50, №12. – С. 1692 – 1700.
Миненко А.С. Проблема минимума со свободной границей // Искусственный интеллект. – 1998. – №2. – С. 89 – 98.
Миненко А.С. Осесимметричное течение со свободной границей//Укр.мат.журнал.–Київ: Наукова думка,1995.– 47, №4. – С. 477 – 487.
Миненко А.С. Проблема минимума одного класса интегральных функционалов с неизвестной областью интегрирования//Мат.физика и нелинейн. механика.–Київ: Наукова думка, 1991.– Вып. 16. – С. 48 – 52.
Миненко А.С. О вариационном методе исследования одной задачи вихревого течения жидкости со свободной границей // Нелинейные граничные задачи. – Київ: Наукова думка, 1993. – Вып. 5. – С. 58–64.
Миненко А.С. Исследование осесимметричного течения со свободной границей // Нелинейные граничные задачи. – Київ: Наукова думка, 1993. – Вып. 5 – С. 65–71.
Миненко А.С. О вариационном методе исследования одной нелинейной задачи потенциального течения жидкости // Нелинейные граничные задачи. – Київ: Наукова думка, 1991. – Вып. 3. – С. 60 – 66.
Миненко А.С. Об одной задаче потенциального течения жидкости со свободной границей // Мат.физика и нелинейн.механика. – КиЇв: Наукова думка, 1987. – Вып.8. – С.73-77.
Миненко А.С. Об одной нелинейной задаче потенциального течения жидкости // Мат.физика и нелинейн. механика. – Київ: Наукова думка, 1989. – Вып.11. – С.70-74.
Миненко А.С. О вариационном методе изучения квазистационарной задачи Стефана // Уравнения в частных производных и задачи со свободной границей. – Киев: Наукова думка, 1983. – С. 82 – 85.
Миненко А.С. Об аналитичности свободной границы в одной теплофизической задаче // Мат. физика. – Київ: Наукова думка, 1983. – Вып. 33. – С. 80 – 82.
Миненко А.С. Некоторые оценки решения квазистационарной однофазной задачи Стефана // Мат. физика. – Київ: Наукова думка, 1982. – Вып. 31. – С. 102 – 105.
Миненко А.С. О разрешимости одной нелинейной теплофизической задаче//Мат.физика.–Київ:Наукова думка,1981.–Вып.30.–С.77–83.
Миненко А.С. Об одной нелинейной задаче со свободной границей // Граничные задачи математической физики. – Киев: Наукова думка, 1981. – С. 85 – 86
Миненко А.С. О разрешимости одной теплофизической задачи со свободной границей // Граничные задачи для дифференциальных уравнений. – Киев: Наукова думка, 1980. – С. 104 – 114.
Миненко А.С. Приближенный анализ нелинейной конвективной задачи теплопроводности. // Материалы международной научно-технической конференции «Искусственный интеллект. Интеллектуальные и многопроцессорные системы». – К., 2006. – Т.1. – С. 322 – 325.
Миненко А.С. Исследование одной задачи вихревого течения жидкости со свободной границей//Тезисы докладов конференции «Нелинейные задачи математической физики и задачи со свободной границей»» – Д., Институт прикладной математики и механики, 1991. – С. 77.
Миненко А.С. Приближенный анализ стационарной, пространственной, конвективной задачи теплопроводности // Праці міжнародної конференції «Питання оптимізації обчислень (ПОО – ХХХІІІ)». – К.: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова, 2007. – С. 202 – 203..
Миненко А.С. Исследование конвективного теплопереноса в нестационарной, пространственной задаче Стефана // Праці міжнародної конференції «Питання оптимізації обчислень (ПОО – ХХХІІІ)». – К.: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова, 2007. – С. 200 – 201.
Миненко А.С. О минимизации нелинейного интегрального функционала с неизвестной областью интегрирования // Праці міжнародної конференції «Питання оптимізації обчислень (ПОО – ХХХІІ)». – К.: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова. 2005 . – С. 152 – 153.
