Анотація до роботи:

Кулик С. І. Математичне моделювання в комп’ютерній томографії з використанням вейвлетів – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.02 – математичне моделювання та обчислювальні методи. – Харківський національний університет радіоелектроніки, Харків, 2008.

Дисертація присвячена математичному моделюванню в комп’ютерній томографії з використанням вейвлетів.

Запропоновано і досліджено новий метод відновлення внутрішньої структури (щільності або коефіцієнта поглинання) тривимірного тіла в заданій площині за допомогою проекцій (даних Радона), що поступають з комп’ютерного томографа та вейвлетів. В основі методу лежить оригінальний підхід до обчислення двовимірних коефіцієнтів Фур’є за допомогою проекцій та вейвлетів. Запропоновано оператори узагальненої двовимірної вейвлет-апроксимації, побудованої на основі мішаної апроксимації вейвлетами і досліджено їх апроксимативні властивості. Зокрема, більш детально вивчено апроксимативні властивості та деякі аспекти чисельної реалізації наближення операторами узагальненої двовимірної вейвлет-апроксимації Хаара. Узагальнена двовимірна вейвлет-апроксимація Хаара вимагає значно меншої кількості вейвлет-коефіцієнтів для досягнення заданої точності відновлення двовимірних образів порівняно з класичною двовимірною вейвлет-апроксимацією Хаара. Цей факт може бути використаний для більш точного опису деяких класів двовимірних сигналів (образів) в цифровій обробці сигналів або для використання меншої кількості вейвлет-коефіцієнтів при заданій точності опису двовимірних сигналів (наприклад, томограм, які поступають з комп’ютерного томографа), порівняно з класичними методами. Результати можуть бути застосованими при цифровій обробці двовимірних сигналів, а також при конструюванні комп’ютерних томографів нового типу з оригінальною, запропонованою в роботі, схемою сканування і обробки даних, що поступають з комп’ютерного томогафа.

В дисертаційній роботі одержано результати, які в сукупності є подальшим узагальненням та розвитком теорії мішаної апроксимації вейвлетами Хаара на випадок довільної системи вейвлетів. Розроблено новий метод розв’язання плоскої задачі комп’ютерної томографії з використанням вейвлетів. Результати роботи є теоретичною основою розв’язання важливих наукових проблем – побудови ефективних методів вейвлет-апроксимації та ефективних методів обчислення коефіцієнтів Фур’є функцій двох змінних за допомогою проекцій, що надходять з комп’ютерного томографа, які є більш точними, ніж класичні.

1. В дисертаційній роботі вперше запропоновано оператори узагальненої двовимірної вейвлет-апроксимації (УДВА), побудовані за допомогою операторів мішаної вейвлет-апроксимації функцій двох змінних, досліджено їх апроксимативні властивості та деякі аспекти обчислювальної реалізації.

2. Доведено, що оператори УДВА, побудовані з використанням вейвлетів Хаара , , наближують з такою ж за порядком точності похибкою , як і оператори мішаної вейвлет-апроксимації Хаара та оператори класичної вейвлет-апроксимації Хаара .

3. Доведено, що при забезпеченні тієї ж точності наближення , оператори вимагають для своєї побудови кількість вейвлет-коефіцієнтів Хаара , яка асимптотично, при , є в разів меншою, ніж кількість коефіцієнтів в класичній сумі Хаара .

4. Доведено, що кількість арифметичних операцій для обчислення узагальнених вейвлет-апроксимацій скінченними сумами Хаара в точках, , , має порядок , якщо не враховувати кількість пересилань. Водночас класична сума Хаара , що наближує з тією ж похибкою, для обчислення в точках вимагає число АО порядку . Це свідчить про значну перевагу запропонованих нами опера-

торів , порівняно з класичними .

5. Вперше запропоновано і досліджено оригінальний метод розв’язання плоскої задачі рентгенівської комп’ютерної томографії за допомогою вейвлетів, що використовує оригінальну схему сканування і обробки даних, відмінну від тих, що використовуються в діючих комп’ютерних томографах.

6. Основні твердження дисертаційної роботи доведені за допомогою відповідних лем та теорем, які узагальнюють вже відомі результати та в більшості не мають аналогів.

7. Обчислювальний експеримент, проведений за допомогою розробленого автором програмного забезпечення, підтвердив основні теоретичні висновки роботи.

8. Властивості операторів узагальненої двовимірної вейвлет-апроксимації (УДВА), сформульовані у пункті 3 цих висновків, дозволяють рекомендувати їх для ефективного стискування інформації про двовимірні сигнали – образи і, зокрема, для візуалізації томограм в комп’ютерній томографії.

9. Запропонований в роботі метод розв’язання плоскої задачі комп’ютерної томографії може бути використаний для конструювання комп’ютерного томографа нового типу.

Публікації автора:

1. Литвин О. М. Математичне моделювання в комп’ютерній томографії з використанням вейвлетів / О. М. Литвин, С. І. Кулик // Проблеми машинобудування. – 2008. – Т.11, №2. – С. 56 – 65.

2. Литвин О. М. Інтерлінація функцій двох змінних з використанням фундаментальних сплайнів / О. М. Литвин, С. І. Кулик // Доповіді НАН України. – 2008. – №7. – С. 26 – 30.

3. Lytvyn O. Bivariate Wavelet Sums, Constructed on the Basis of Haar Blending Approximation and Experimental Data / O. Lytvyn, S. Kulyk. // Управляющие системы и машины. – 2008. – №3. – С. 53 –59.

4. Литвин О. Н. Некоторые аспекты быстрого вычисления смешанных сумм Хаара / О. Н. Литвин, С. И. Кулик // Компьютерная математика. – 2008. – №2. – С. 83 – 95.

5. Литвин О. М. Узагальнені оператори Хаара, побудовані на основі двовимірної мішаної апроксимації вейвлетами Хаара / О. М. Литвин, С. І. Кулик // Оброблення сигналів і зображень та розпізнавання образів. – Київ: Видання Міжнародного науково-навчального центру інформаційних технологій та систем, 2004. – С. 297 – 300.

6. Литвин О. М. Про чисельну реалізацію вейвлет-перетворення Хаара однієї та двох змінних, побудованих за допомогою експериментальних даних / О. М. Литвин, С. І. Кулик // Праці Міжнародної конференції «Питання оптимізації обчислень (ПОО XXXII)», присвяченої пам’яті академіка В. С. Михалевича. – Київ: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України, 2005. – С. 119 – 120.

7. Дроботя А. І. Шифрування зображень з використанням алгоритму RSA та вейвлетів Добеші / А. І. Дроботя, С. І. Кулик, О. В. Манжула // Проблеми прийняття рішень в умовах невизначеності: Матеріали міжнар. наук.-практ. конф. (м. Бердянськ, 12-17 вересня 2005 року). – Бердянськ, 2005. С. 43.

8. Дроботя А. І. Шифрування зображень з використанням алгоритму RSA та вейвлетів Добеші / А. І. Дроботя, С. І. Кулик, О. В. Манжула // Збірник наукових праць Бердянського державного педагогічного університету (Педагогічні науки). – № 3. – Бердянськ: БДПУ, 2005. – С. 189 – 197.

9. Підготовка вчителя математики до роботи в умовах використання комп’ютерно-орієнтованих систем навчання: Колективна монографія / [В. Є. Межуєва, О. Б. Красножон, С. І. Кулик та ін.]; за ред. проф. О. М. Литвина. – Донецьк: ТОВ. «Юго-Восток, Лтд», 2006. – С. 408 – 428.

10. Литвин О. М. Використання мішаної апроксимації кусково-сталими сплайнами у стискуванні інформації / О. М. Литвин, С. І. Кулик // Оброблення сигналів і зображень та розпізнавання образів. – Київ: Видання Міжнародного науково-навчального центру інформаційних технологій та систем, 2006. – С. 155 – 158.

11. Литвин О. М. Про оптимізацію числа арифметичних операцій при обчисленні сум Хаара однієї та двох змінних / О. М. Литвин, С. І. Кулик // Одинадцята міжнародна наукова конференція імені академіка М. Кравчука, 18-20 трав., 2006 р., Київ: Матеріали конф. – К.: ТОВ «Задруга», 2006. – С. 489. – Укр., рос., англ.

12. Литвин О. М. Про стискування інформації за допомогою мішаної апроксимації кусково-сталими сплайнами / О. М. Литвин, С. І. Кулик // Тезисы докладов Международной конференции „Актуальные проблемы прикладной математики и механики (АППММ’06)”, посвященной 80-летию со дня рождения академика НАН Украины Рвачова Владимира Логвиновича. – Харьков: ИПМаш им. А. Н. Подгорного НАН Украины, 2006. – С. 16.

13. Литвин О. М. Про один підхід до прогнозування курсу долара по відношенню до євро / О. М. Литвин, І. В. Дідковський, С. І. Кулик // Проблемы развития внешнеэкономических связей и привлечения иностранных инвестиций: региональный аспект. – Сборник научных трудов. Донецк: ДонНУ, 2007. – С. 1353 – 1358.

14. Литвин О. М. Про введення елементів теорії вейвлетів до курсу «Персональний комп’ютер в математичних розрахунках» / О. М. Литвин, С. І. Кулик // Безперервна фізико-математична освіта: проблеми, пошуки, перспективи: Матеріали Всеукраїнської науково-практичної конференції. – Бердянськ: БДПУ, 2007. – С. 46 – 48.

15. Кулик С. І. Наближення функцій двох змінних з використанням сплайн-вейвлетів / С. І. Кулик // Праці міжнародного симпозіуму «Питання оптимізації обчислень (ПОО-ХХХІII)», присвяченого 50-річчю створення Інституту кібернетики ім. В. М. Глушкова НАН України. – Київ: Інститут кібернетики ім. В. М. Глушкова НАН України, 2007. – С. 162 – 163.

16. Кулик С. І. Мішана сплайн-вейвлет-апроксимація функцій двох змінних /

С. І. Кулик // XL науково-практична конференція науково-педагогічних працівників, науковців, аспірантів та співробітників УІПА. – Харків: УІПА, 2007. – С.82.