Анотація до роботи:

Цвєтков Д.О. Математичні проблеми теорії коливань стратифікованої рідини. — Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.03 – математична фізика. – Харківський національний університет імені В.Н. Каразіна, Харків, 2005.

Дисертація присвячена дослідженню задач про коливання гідродинамічних систем, що складаються як з однієї в'язкої стратифікованої рідини, що частково заповнює нерухому чи рівномірно обертову судину, так і з системи двох стратифікованих рідин, що не змішуються, при наявності вільної поверхні. Шляхом проектування рівнянь відповідних початково-крайових задач на спеціальні функціональні підпростори здійснюється перехід до диференціально-операторного рівняння першого порядку в деякому гільбертовому просторі. Застосування методу операторних блок матриць, а також загальної теорії абстрактних диференціально-операторних рівнянь дозволило довести теореми про сильну (за часом) розв'язність вихідних початково-крайових задач.

Досліджено спектральні задачі про нормальні коливання відповідних гідродинамічних систем. Вивчено структури спектрів частот нормальних коливань. Отримано асимптотичні формули для віток власних значень.

1. Розроблено підхід, який оснований на використанні теорії операторних блок-матриць, що діють у гільбертових просторах, і який дозволяє перейти від вихідних початково-крайових задач для стратифікованих рідин до рівносильних задач Коші для диференціально-операторного рівняння в гільбертовому просторі.

2. Вивчена задача про малі рухи в'язкої стратифікованої рідини, що частково заповнює нерухому посудину, щільність якої в стані рівноваги має стійку стратифікацію, а також її узагальнення на випадок рівномірно обертової посудини. Отримано умови, при яких існують сильні за часом розв'язки відповідних початково-крайових задач.

3. Досліджена задача про нормальні коливання в'язкої стратифікованої рідини, що частково заповнює нерухому посудину. Ця спектральна задача вивчена за допомогою двох підходів (самоспряжені оператори в просторі з індефінітною метрикою і спектральна теорія операторних жмутків), що взаємно доповнили один одного. Отримано твердження про структуру спектра, про властивості кореневих функцій і інші питання.

4. Вивчена задача про малі рухи частково дисипативної гідросистеми з двох важких рідин, що не змішуються, і які частково заповнюють довільну посудину. Передбачається, що нижньою, стосовно дії сили ваги, є в'язка стратифікована рідина, а верхня – стратифікована ідеальна рідина. Доведено теорему про сильну розв'язність відповідної початково-крайової задачі.

5. Досліджена задача про нормальні коливання частково дисипативної гідросистеми з 4. Для цієї спектральної задачі отримано твердження про наявність граничного спектра у вигляді відрізка уявної осі. Встановлено асимптотичні формули для трьох віток власних значень. Надано фізичне пояснення результатів, отриманих у спектральній задачі.

Публікації автора:

1. Tsvetkov D.O. On normal oscillations of a viscous stratified fluid // Ученые записки Таврического национального университета. Математика. Механика. Информатика и Кибернетика. – 2002. – Том 15 (54), № 1. – С. 100 – 104.

2. Цветков Д.О. Малые движения стратифицированной жидкости // Ученые записки Таврического национального университета. Математика. Механика. Информатика и Кибернетика. – 2002. – Том 15 (54), № 2. – С. 99 – 104.

3. Цветков Д.О. Нормальные колебания частично диссипативной гидросистемы // Ученые записки Таврического национального университета. Математика. Механика. Информатика и Кибернетика. – 2003. – Том 16 (55), № 2. – С. 99 – 108.

4. Цветков Д.О. О малых движениях частично диссипативной гидросистемы, состоящей из стратифицированных жидкостей // Межведомственный научный сборник "Динамические системы". – 2004. – Вып. 18. – C. 119 – 124.

5. Цветков Д.О. Малые движения идеальной стратифицированной жидкости в сосуде // Таврический вестник информатики и математики. – 2002. – Вып.1. – С. 98 – 103.

6. Цветков Д.О. Малые движения стратифицированной жидкости во вращающемся сосуде // Таврический вестник информатики и математики. – 2003. – Вып. 1 – С. 140 – 149.

7. Tsvetkov D.O. On small motions of a partially dissipative hydrosystems consisting of stratified fluids // International Conference on Functional Analysis and its Applications. Book of Abstracts. – Lvov (Ukraine). – 2002. – P. 200 – 201.