Анотація до роботи:

Дрозд-Корольова О.Ю. Матричні задачі над алгебраїчно незамкненими полями. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.06 – алгебра та теорія чисел. Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2006.

Дисертація присвячена розширенню існуючих алгоритмів та результатів для матричних задач на випадок задач над алгебраїчно незамкненими полями. Побудовано алгоритм зведення для бімодульних задач над кільцями, який узагальнює відомий алгоритм Клейнера–Ройтера. З нього виведена підсилена гіпотеза Брауера-Тролла для локально артінових бімодулів та для модулів над артиновими алгебрами. Розглянуто зображення зважених частково впорядкованих множин. Для них сконструйовані функтори віддзеркалень та доведено критерій скінченності зображувального типу. Введені узагальнені в’язки ланцюгів та їх зображення. Для них розроблено алгоритм зведення, комбінаторику струн та стрічок і дано спосіб побудови всіх нерозкладних зображень за струнними та стрічковими даними.

У дисертації розв'язано проблему узагальнення матричних задач на випадок алгебраїчно незамкненого поля. Зокрема, доведено підсилену гіпотезу Брауера-Тролла для бімодульних задач та аналогічну теорему для зображень алгебр. Введено зображення зважених частково впорядкованих множин і доведено, що зважена частково впорядкована множина має скінчений зображувальний тип тоді й лише тоді, коли її форма Тітса слабо додатня. Для доведення цього результату були побудовані віддзеркалення для зображень зважених частково впорядкованих множин і встановлені їхні властивості. Розглянуто зображення узагальнених в’язок ланцюгів. Для них встановлено, що коли ми спрощуємо атомну частину в’язки ланцюгів і обмежуємо елементарні перетворення до таких, які не змінюють канонічної форми цієї частини, то ми знову отримуємо представлення (нової) узагальненої в’язки ланцюгів. В явній формі сформульований алгоритм такого зведення. З цієї рекурсивної процедури виведено результат, який дає опис всіх нерозкладних зображень довільної узагальненої в’язки ланцюгів. А саме, розроблено комбінаторику струн і стрічок і встановлено процедуру, яка за кожними струнним або стрічковим даним будує відповідне нерозкладне зображення, причому в такий спосіб одержуються всі нерозкладні зображення (з точністю до ізоморфізму).

Описані результати узагальнюють результати Л.А.Назаро-вої, А.В.Ройтера, В.М.Бондаренка, Ю.А.Дрозда, В.Длаба, К.Рін-геля.

Результати дисертації є новими і не мають аналогів у сучасній науковій літературі.

Публікації автора:

1. O. Drozd. Generalized bunhes of chains // В книзі: Алгебраїчні структури та їх застосування. Київ. Інститут математики НАН України – 2002. – Ст. 224-237.

2. O. Drozd-Koroleva. Weighted partially ordered sets of finite type // Algebra and Discrete Mathematics. – 2006. – №2. – Ст. 36-49.

3. О. Ю. Дрозд-Корольова. Бiмодульнi задачі над кільцями. // Вісник Київського Університету. Серія: Фізико-математичні науки. – 2006. – Вип. 3.

4. O. Drozd. Representations of generalized bunches of chains. // Abstracts of Talks. IIIrd International Algebraic Conference in Ukraine (Sumy, 2001) – 2001.

5. O. Drozd. Reduction algorithm for generalized boxes. // Abstracts of ICRA X – 2002.

6. O. Drozd. A generalization of Kleiner-Roiter algorithm. // Abstracts of Talks. IV International Algebraic Conference in Ukraine. (Lviv, 2003) – 2003. – Ст. 62.

7. O.Y. Drozd-Koroleva. Weighed bisposets of finite type. // Abstracts of Talks. IV International Algebraic Conference in Ukraine (Odessa, 2005) – 2005. – Ст. 65-66.

8. O. Drozd-Koroleva. Bimodule problems over rings. // International Conference on Radicals. Abstracts of Talks. (Kiev, 2006) – 2006. – Ст. 29-30.