Анотація до роботи:

Гладіліна Р.І. Метод функцій Ляпунова в задачах стійкості розв’язків диференціальних рівнянь з імпульсною дією. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 – диференціальні рівняння. – Інститут прикладної математики і механіки НАН України, Донецьк, 2005.

Дисертація присвячена дослідженню стійкості розв’язків систем диференціальних рівнянь з імпульсною дією у фіксовані моменти часу за методом функцій Ляпунова.

У дисертаційній роботі основні теореми прямого методу Ляпунова було поширено на задачі стійкості за частиною змінних. За допомогою розривних кусково-диференційованих функцій Ляпунова одержано різні умови асимптотичної стійкості та нестійкості відносно частини змінних.

Доведено теорему про рівномірну асимптотичну стійкість інваріантної множини імпульсної системи та встановлено умови існування кусково-неперервної та кусково-диференційованої функції Ляпунова, яка задовольняє умовам цієї теореми. Встановлено умови рівномірної асимптотичної стійкості інваріантних множин імпульсної системи із збуренням.

Для періодичних імпульсних систем, застосовуючи розривні кусково-диференційовані функції Ляпунова зі знакосталою похідною, було доведено теореми про асимптотичну стійкість та нестійкість, як за всіма змінними, так і за частиною змінних.

Доведено теорему про існування кусково-неперервної функції Ляпунова, яка має похідну Діні і задовольняє умовам модифікованої теореми Гургули-Перестюка про рівномірну асимптотичну стійкість за всіма змінними.

Дисертаційна робота має теоретичний характер. Одержані результати можуть бути застосовані для подальшого розвитку якісної теорії імпульсних систем, у тому числі, за частиною змінних. Вони також можуть використовуватись при дослідженні багатьох прикладних задач механіки, теорії стабілізації та керування, біології, медицини, економіки та інших галузей, математичними моделями яких є розглянуті в роботі імпульсні системи.

Дисертаційна робота присвячена узагальненню методу функцій Ляпунова на задачі стійкості відносно частини змінних для систем диференціальних рівнянь з імпульсною дією у фіксовані моменти часу, а також доведенню універсальності прямого методу Ляпунова для дослідження стійкості імпульсних систем як за всіма змінними, так і за частиною змінних.

Серед основних результатів роботи слід зазначити:

1. Основні теореми другого методу Ляпунова поширені на задачі стійкості відносно частини змінних для імпульсних систем.

2. Для періодичних систем диференціальних рівнянь з імпульсним впливом доведено, що із стійкості нульового розв’язку системи випливає його рівномірна стійкість, а із асимптотичної стійкості – рівномірна асимптотична стійкість.

3. Для періодичних імпульсних систем із застосуванням розривної кусково-диференційованої функції Ляпунова зі знакосталою похідною доведено теореми про рівномірну асимптотичну стійкість та нестійкість нульового розв’язку як за всіма, так і за частиною змінних.

4. Доведено оберненість модифікованої теореми Гургули-Перестюка про рівномірну асимптотичну стійкість нульового розв’язку імпульсної системи. Показано, що існує кусково-неперервна функція Ляпунова, яка задовольняє всім умовам цієї теореми.

5. Доведено, що при наявності малих збурень правих частин імпульсної системи зберігається рівномірна асимптотична стійкість нульового розв’язку системи.

6. Досліджена задача стійкості інваріантних множин систем диференціальних рівнянь з імпульсним впливом у фіксовані моменти часу. Доведено теореми про рівномірну і рівномірно асимптотичну стійкість інваріантної множини M.

7. Доведено теорему про рівномірну асимптотичну стійкість інваріантної множини M імпульсної системи при наявності малих збурень.

8. Доведено теорему про існування кусково-неперервної та кусково-диференційованої функції Ляпунова, яка задовольняє умовам теореми про рівномірну асимптотичну стійкість інваріантної множини M імпульсної системи.

Перелічені результати мають, в основному, теоретичне значення. Результати дисертації можуть бути застосовані для подальшого розвитку якісної теорії імпульсних систем, у тому числі, за частиною змінних. Одержані результати можуть бути рекомендовані для використання при дослідженні різних прикладних задач механіки, теорії стабілізації і керування, електроніки, біології, економіки, математичними моделями яких є імпульсні системи.