Анотація до роботи:

Норкін Б.В. Метод послідовних наближень для розв’язання інтегральних рівнянь актуарної математики. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.01 – теоретичні основи інформатики та кібернетики. – Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України, Київ, 2006.

В дисертації одержано наступні основні результати. Розглянуто різні узагальнення класичного процесу ризику (модель Крамера – Лундберга), що описує стохастичну еволюцію капіталу страхової компанії. Зокрема, розглянуті процеси ризику з непостійними детермінованими преміями, з випадковими преміями, з непуассонівськими потоками премій і вимог, процеси ризику у випадковому марковському середовищі. Виведено інтегральні рівняння для ймовірності (не) розорення як функції початкового капіталу компанії для різних узагальнень класичного процесу ризику. Для процесу ризику у випадковому марковському середовищі одержані системи інтегральних рівнянь для набору ймовірності нерозорення з різних початкових станів середовища як функцій початкового капіталу компанії. Встановлені загальні необхідні і достатні, а також конкретні достатні умови існування та єдиності рішень розглянутих інтегральних рівнянь і систем рівнянь страхової математики. Теоретично і практично обґрунтований метод послідовних наближень для чисельного або аналітичного розв’язання розглянутих інтегральних рівнянь математики страховки, зокрема, доведена його рівномірна збіжність і одержані оцінки швидкості збіжності. Розроблена методика оцінки точності наближеного розв’язку інтегральних рівнянь математики страховки шляхом побудови наближень до точного розв’язку зверху та знизу. Запропонований метод послідовних наближень апробований на низці числових прикладів, проведено його порівняння з методом Монте-Карло, з відомими наближеними оцінками розв’язку. Розроблений метод послідовних наближень для розв’язання інтегральних рівнянь математики страховки дозволяє підвищити точність актуарних розрахунків, а саме – обчислити в рамках обраної моделі ймовірність розорення страхової компанії з будь-якою наперед заданою точністю, провести перевірку точності і застосовності різних відомих наближених формул для ймовірності розорення. За необхідності поліпшити точність емпіричних апроксимацій ітеративним шляхом, оцінити точність і скоректувати параметри Монте-Карло при обчисленні ймовірності розорення за допомогою імітаційного моделювання.

В дисертації отримано наступні основні результати.

1. Виведені інтегральні рівняння для ймовірності (не) розорення різних узагальнень класичного процесу ризику, зокрема процесу з детермінованими преміями, залежними від поточного капіталу, з випадковими преміями, з непуассонівськими потоками премій і вимог та для процесу ризику у випадковому марковському середовищі.

2. Встановлені загальні необхідні та достатні, а також конкретні достатні умови існування і єдиності розв’язків розглянутих інтегральних рівнянь і систем рівнянь страхової математики.

3. Теоретично і практично обґрунтовано метод послідовних наближень для числового розв’язання розглянутих інтегральних рівнянь страхової математики.

4. Розроблена методика оцінки точності наближеного розв’язку інтегральних рівнянь страхової математики шляхом побудови наближень до точного розв'язку знизу і згори.

5. Запропонований метод послідовних наближень для розв’язання інтегральних рівнянь страхової математики апробовано на ряді числових прикладів, проведено його порівняння з методом Монте-Карло та з відомими наближеними оцінками ймовірності банкрутства.

Розроблений метод послідовних наближень для розв’язання інтегральних рівнянь страхової математики дозволяє:

підвищити точність актуарних розрахунків;

обчислити (у рамках обраної моделі) ймовірність розорення страхової компанії з будь-якою наперед заданою точністю;

провести перевірку точності і застосовності різних відомих наближених формул для ймовірності розорення;

за необхідності поліпшити точність емпіричних апроксимацій ітеративним шляхом;

оцінити точність та скорегувати параметри загального Монте – Карло при обчисленні ймовірності розорення за допомогою імітаційного моделювання.