Анотація до роботи:

Керекеша Д. П. Метод спряження аналітичних функцій в теорії інтегро-диференціальних рівнянь з майже різницевими ядрами. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 - диференціальні рівняння. - Одеський національний університет ім. І. І. Мечникова, Одеса, 2006.

В дисертації удосконалено відомі та розроблено нові математичні методи для розв’язання крайових задач теорії аналітичних функцій, що дозволило розширити клас інтегральних рівнянь типу згортки зі змінними коефіцієнтами, які ефективно розв’язуються за допомогою перетворення Фур’є у квадратурах. В залежності від структури змінних коефіцієнтів досліджуване інтегральне рівняння шляхом перетворення Фур’є зводиться відповідно до крайових задач теорії аналітичних функцій: до задачі Рімана на дійсній осі, до задачі Карлемана для смуги, до площинної задачі Карлемана.

Досліджувані інтегральні рівняння розглянуто на дійсній осі, і на вимірних за Лебегом множинах дійсної осі. Розв’язки розглянутих рівнянь шукаються в достатньо широких просторах функцій, включаючи простори узагальнених функцій.

В якості застосування запропоновано метод розв’язування трьох задач узагальненої теорії ризику.

Дисертаційна робота присвячена розширенню класів інтегральних рівнянь, які за допомогою перетворення Фур'є розв'язуються в замкненій формі.

Характерною відмінністю результатів дисертаційної роботи є те, що вони отримані єдиним методом - методом спряження аналітичних функцій, який вдосконалено у роботі. Завдяки цьому у дисертації отримані нові результати, які суттєво розширюють основи теорії інтегральних рівнянь, як з теоретичної, так і практичної точок зору в якості застосувань.

Головними новими результатами дисертації є наступні:

- побудовано розв’язок у просторі узагальнених функцій однорідної задачі Рімана для півплощини в особливому випадку;

- доведені теореми існування та єдиності розв’язку і теореми про асимптотичну поведінку розв’язків задачі Карлемана для смуги з паралельними зсувами в область;

- отримано інтегральне зображення в смузі, яке може бути продовжено у верхню півплощину;

- запропоновано загальний підхід до побудови розв’язків деяких класів інтегральних та інтегро-диференціальних рівнянь з майже різницевими ядрами;

- запропоновано удосконалений підхід конструктивної побудови інтегральних та інтегро-диференціальних рівнянь узагальненої теорії ризику.

Публікації автора:

1. Kerekesha D. Some generalization of the ruin probability problem in the classical risk theory // Theory of Stochastic Processes.-2001.-Vol.7 (23), №.1-2.-P. 189-195.

2. Керекеша Д. П. Точний розв'язок рівняння ризику з кусково неперервною функцією поточного резерву спеціальної структури // Вісник Київського університету. Cерія: фізико-математичні науки. - 2003. - Вип.5 - С. 31-39.

3. Керекеша Д. П., Керекеша П.В. Наближений розв'язок рівняння теорії ризику з преміями, які залежать від резервного фонду // Доповіді НАН України. - 2002. - № 9 - С. 23-31.

4. Керекеша Д. П., Керекеша П.В. Симетрична задача Карлемана для смуги з паралельними зсувами в область // Вісник Київського університету. Cерія: фізико-математичні науки. - 2002. - № 5. - С .54-63.

5. Kerekesha D. About the method of solving the equation of risk with exponential coefficients // Theory of Stochastic Processes.-2004. Vol.10 (26), №.1.-P. 44-47.

6. Керекеша Д.П. Точний розв’язок рівняння ризику з кусково-сталою функцією поточного резерву // Теорія ймовірностей та математична статистика. -2003. - № 69. - С. 57-62.

7. Керекеша Д. П. До теорії задачі Карлемана для смуги з аналітичним продовженням у верхню півплощину // Крайові задачі для диференціальних рівнянь: Зб. наук.пр. - Чернівці: Прут, 2005. - Вип.12. - С. 129-136.

8. Керекеша Д. П. Об одном интегро-дифференциальном уравнении классической теории риска // Second school on actuaral and financial mathematics. –Kyiv.-1999.-C.11.

9. Керекеша Д. П. Задача Карлемана для полосы с параллельными сдвигами во внутрь // Міжнародна конференція “Диференціальні та інтегральні рівняння”. Тези доповідей. - Одеса. - 2000. - С. 124-125.

10. Керекеша Д.П. Метод спряження аналітичних функцій в узагальненій теорії ризику // X Міжнародна наукова конференція ім. академіка М. Кравчука. Тези доповідей. - Київ. - 2004. - С.601.

11. Kerekesha D. About the method of solving the equation of risk with exponential coefficients // Proceeding of the Seventh International School on Mathematical and Statistical Methods in Economics; Finance and Insurance.- Crimea, Ukraine. - 2003. - С.19.

12. Керекеша Д. П. Точные решения некоторых классов интегральных уравнений с почти разностными ядрами // Міжнародна конференція “Интегральные уравнения и их применения”. Тези доповідей. - Одеса. - 2005. - С.59.