Анотація до роботи:

Шепельський Д.Г. Метод задачі Рімана-Гільберта у теорії обернених задач та інтегровних рівнянь. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук за спецiальнiстю 01.01.03 – математична фiзика. Фiзико-технiчний інститут низьких температур ім. Б.I. Вєркiна НАН України, Харків, 2008.

Робота присвячена розробці методу задачі Рімана-Гільберта для вирішення обернених задач, що виникають у теорії розповсюдження електромагнітних хвиль у середовищах складної мікроструктури, та побудові методу оберненої задачі розсіяння для аналізу початково-крайових задач для нелінійних інтегровних рівнянь. Розроблено систематичний підхід, що дозволив доказати теореми єдиності визначення параметрів середовищ за даними розсіяння для широкого класу моделей складних середовищ. Отримано характеризацію крайових значень розв'язків нелінійних рівнянь класичного типу (МКдФ, НУШ, синус-Гордон), а також рівняння Камаси-Хольма, що є представником нового класу інтегровних рівнянь. Одержано детальні асимптотики розв'язків початково-крайових задач за великим часом як для класичних рівнянь (на прикладі рівняння МКдФ), так і для рівняння Камаси-Хольма.

У дисертації побудовано аналітичний апарат, в основі якого лежить задача аналітичної факторизації типу Рімана-Гільберта, який систематично застосовується для дослідження обернених задач для систем диференціальних рівнянь, що виникають у теорії розповсюдження електромагнітних хвиль у неоднорідних стратифікованих середовищах, та дослідження початково-крайових задач для інтегровних нелінійних рівнянь. За допомогою цього апарату:

Отримано теореми єдиності реконструкції параметрів середовища для моделей, у яких ці параметри є функціями виключно просторової змінної.

Знайдена характеризація відсутності єдиності у задачі реконструкції параметрів ліній переносу.

Отримано теореми єдиності реконструкції параметрів середовищ, що характеризуються дисперсією Лоренца матеріальних параметрів, для визнаних моделей киральних та Омега-середовищ.

Ці результати є першими результатами систематичного застосування універсального аналітичного апарату для вивчення питань єдиності реконструкції матеріальних параметрів середовищ у випадках, коли ці середовища мають складну мікроструктуру, яка, на макроскопічному рівні, проявляється у багатопараметричності задач. Розроблений метод може бути ефективно застосований у широкому колі моделей розповсюдження хвиль різного походження, а на його основі можливо будувати чисельні алгоритми реконструкції. Він також дозволяє контролювати питання єдиності чи її відсутності при застосуванні інших методів реконструкції, зокрема, оптимізаційних методів, де нагальною є проблема „вторинних мінімумів”.

Результати дисертації, що стосуються нелінійних рівнянь, належать до двох типів:

Розроблено метод оберненої задачі розсіяння для аналізу початково-крайових задач для нелінійних інтегровних рівнянь.

На основі застосування розробленого методу отримані детальні результати стосовно поведінки за великим часом розв'язків початково-крайових задач.

Результати такого роду одержано як для класичних нелінійних рівнянь типу МкФ, так і для рівняння Камаси-Хольма, що представляє собою відносно нову нелінійну модель розповсюдження хвиль, яка знаходиться у останній час у центрі уваги фізичних та математичних досліджень.

Здобуті результати започаткували регулярне застосування методу оберненої задачі розсіяння для аналізу початково-крайових задач для нелінійних інтегровних рівнянь. У дисертації виявлено центральну роль глобального співвідношення для характеризації крайових значень розв'язків нелінійних рівнянь. Зокрема, результати аналізу глобального співвідношення вже знайшли застосування у розробці алгоритмів чисельного інтегрування нелінійних рівнянь, у конструкції ідеальних крайових умов, що не відбивають. На прикладі рівняння Камаси-Хольма, продемонстрована ефективність запропонованого метода оберненої задачі розсіяння для дослідження інтегровних рівнянь у випадках складної структури відповідних лінійних рівнянь пари Лакса, коли є залежність головних членів коефіцієнтів цих рівнянь, поблизу особливих точок відносно спектрального параметра, від просторової та часової змінних. Метод має універсальний характер і може бути безпосередньо застосований до дослідження інших важливих нелінійних рівнянь цього типу, зокрема, рівнянь Дегасперіса-Прочесі, Хантера-Секстона, Вахненко тощо.

Публікації автора:

1. Khruslov E., Shepelsky D. Inverse scattering method in electromagnetic sounding theory // Inverse Problems. – 1994. – Vol. 10, No. 1. – P. 1-37.

2. Shepelsky D. The inverse problem of reconstruction of the medium's conductivity in a class of discontinuous and increasing functions // Spectral Operator Theory and Related Topics. Advances in Soviet Mathematics / ed. V.A. Marchenko. – AMS, Providence, 1994. – Vol. 19. – P. 209-232.

3. Boutet de Monvel A., Shepelsky D. Inverse scattering problem for anisotropic media // J. Math. Phys. - 1995. - Vol.36, No. 7. – P. 3443-3453.

4. Boutet de Monvel A., Shepelsky D. Direct and inverse scattering problem for a stratified nonreciprocal chiral medium // Inverse Problems. – 1997. – Vol. 13, No. 2. – P. 239-251.

5. Boutet de Monvel A., Shepelsky D. Inverse scattering approach for stratified chiral media // Lecture Notes in Physics. – 1997. – Vol. 486. – P. 47-57.

6. Boutet de Monvel A., Shepelsky D. Inverse scattering problem for a stratified bi-isotropic medium at oblique incidence // Inverse Problems. – 1998. – Vol. 14, No.1. – P. 29-40.

7. Sheen D., Shepelsky D. Uniqueness in simultaneous reconstruction of multiparameters of a transmission line // Progress in Electromagnetic Research. – 1998. – Vol. 21. – P. 153-172.

8. Sheen D., Shepelsky D. Inverse scattering problem for a stratified anisotropic slab // Inverse Problems. – 1999. – Vol. 15, No. 2. – P. 499-514.

9. Sheen D., Shepelsky D. Uniqueness in a frequency-domain inverse problem of a stratified uniaxial bianisotropic medium // Wave Motion. – 2000. – Vol. 31, No. 4. - P. 371-385.

10. Boutet de Monvel A., Shepelsky D. A frequency-domain inverse problem for a dispersive stratified chiral medium // J. Math. Phys. – 2000. – Vol. 41, No. 9. - P. 6116-6129.

11. Shepelsky D. A Riemann-Hilbert problem for propagation of electromagnetic waves in an inhomogeneous, dispersive waveguide // Math. Phys. Anal. Geom. – 2000. – Vol. 3, No. 2. - P. 179-193.

12. Boutet de Monvel A., Shepelsky D. Reconstruction of a stratified Omega medium and the associated Riemann-Hilbert Problem // Inverse Problems. – 2002. – Vol. 18, No. 5. – P. 1377-1395.

13. Boutet de Monvel A., Shepelsky D. The modified KdV equation on a finite interval // C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math. – 2003. – Vol. 337, No. 8. – P. 517-522.

14. Boutet de Monvel A., Fokas A., Shepelsky D. The analysis of the global relation for the nonlinear Schroedinger equation on the half-line // Lett. Math. Phys. – 2003. – Vol. 65, No. 3. – P. 199-212.

15. Boutet de Monvel A., Fokas A., Shepelsky D. The mKdV equation on the half-line // J. Inst. Math. Jussieu. – 2004. – Vol. 3, No. 2. – P. 139-164.

16. Boutet de Monvel A., Shepelsky D. Initial boundary value problem for the mKdV equation on a finite interval // Ann. Inst. Fourier. – 2004. – Vol. 54, No.5. – P. 1477-1495.

17. Boutet de Monvel A., Shepelsky D. The Camassa-Holm equation on the half-line // C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math. – 2005. – Vol. 341, No. 10. P. 611-616.

18. Shepelsky D., Fenchenko V. Multiparameter reconstruction for a stratified coating on a reflecting support // Inverse Problems in Sci. Engineering. – 2006. – Vol. 14, No.2. – P. 111-127.

19. Boutet de Monvel A., Fokas A., Shepelsky D. Integrable nonlinear evolution equations on a finite interval // Comm. Math. Phys. – 2006. – Vol. 263. – P. 133-172.

20. Boutet de Monvel A., Shepelsky D. Riemann-Hilbert approach for the Camassa-Holm equation on the line // C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math. – 2006. – Vol. 343, No. 10. – P. 627-632.

21. Shepelsky D. Riemann-Hilbert methods in integrable systems // Encyclopedia of Math. Phys. – Elsevier, 2006. – P. 429-435.

22. Boutet de Monvel A., Shepelsky D. Riemann-Hilbert problem in the inverse scattering for the Camassa-Holm equation on the line // Probability, Geometry and Integrable Systems. MSRI Publications. – 2007. – Vol. 55. – P. 53–75.

23. Boutet de Monvel A., Shepelsky D. Long-time asymptotics of the Camassa-Holm equation on the line // Integrable Systems, Random Matrices, and Applications. Contemporary Mathematics. – 2008. – Vol. 458. – P. 99–116.

24. Boutet de Monvel A., Shepelsky D. The Camassa-Holm equation on the half-line: the Riemann-Hilbert approach // Journal of Geometric Analysis. – 2008. –Vol. 18, No. 2. – P. 285–323.

25. Sheen D., Shepelsky D. Inverse scattering problem for stratified uniaxial bianisotropic medium // Proceedings of the 4^th Int. Conf. on Mathematical and Numerical Aspects of Wave Propagation / ed. Joan A. DeSanto. Golden, Colorado, June 1-5, 1998. – Philadelphia: SIAM, 1998. – P. 517–519.

26. Shepelsky D., Sheen D. Inverse problem for a stratified uniaxial bianisotropic medum // Int. Congress of Mathematicians, August 18—27, 1998, Berlin. Abstracts of Short Communications. – Berlin: ICM 1998. – P. 220–221.

27. Shepelsky D. Inverse scattering problem for a stratified dispersive chiral medium //

Proceedings of the IV^th Int. Seminar/Workshop „Direct and Inverse Problems of Electromagnetic and Acoustic Wave Theory” (DIPED-99). Sept. 20-23, Lviv. – Lviv: Inst. Appl. Probl. Mech. Math NASU, 1999. – P. 28–31.

28. Shepelsky D., Boutet de Monvel A. Riemann-Hilbert problem and frequency-domain inverse problem for a stratified omega medium // Mathematical and
Numerical Aspects of Wave Propagation (Santiago de Compostela, 10–14 juillet 2000), eds. A. Bermudez et al. – Philadelphia, PA: SIAM, 2000. – P. 460–464.

29. Boutet de Monvel A., Shepelsky D. Frequency-domain modeling of inhomogeneous dispersive media: inverse scattering problem // Proceedings of the European Symposium on Numeric Methods in Electromagnetics (JEE'02). Toulouse, 6–8 mars, 2002. – Toulouse: ONERA, 2002. – P. 311–316.

30. Shepelsky D. The Riemann–Hilbert approach to the Camassa-Holm equation // Lyapunov Memorial Conference, June 24–30, 2007, Kharkiv. Book of Abstracts. – Kharkiv: Inst. Low Temp. Phys. Engeneering NASU, 2007. – P. 150–151.