Анотація до роботи:

Колеснікова Н.В. Методи барицентричного усереднення в задачах відновлення гармонічних та бігармонічних функцій.– Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 01.05.02 – математичне моделювання та обчислювальні методи. Харківський національний університет імені В.Н. Каразіна, Харків, 2008.

Дисертація присвячена побудові моделей та методів барицентричного усереднення для задач відновлення гармонічних та бігармонічних функцій. Запропонована нова оригінальна методика моделювання серендипових скінченних елементів у декартових та полярних координатах, що усуває недоліки традиційного алгебраїчного підходу, пов’язані зі складанням і розв’язуванням великих систем рівнянь.

Модифіковано метод барицентричного усереднення для розв’язування задачі кручення призматичних стержнів довільного поперечного перерізу. Вперше геометричним методом побудовано базисні функції для трикутного скінченного елемента ермітова типу та запропоновано новий підхід до моделювання трикутного елемента Морлі. Розроблено метод барицентричного усереднення для відновлення бігармонічних функцій на прикладі розв’язування рівняння Софі Жермен, що моделює деформації згину пружних пластин довільної форми.

У дисертації отримано нові науково обґрунтовані результати в області математичного моделювання та обчислювальних методів, що в сукупності вирішують важливу науково-прикладну задачу – удосконалення засобів математичного моделювання технічних систем шляхом розробки математичних моделей для розв’язування задач відновлення гармонічних та бігармонічних функцій багатьох змінних за допомогою методу барицентричного усереднення, що дозволяє підвищити ефективність розв’язання важливих прикладних задач.

У процесі виконання роботи отримано наукові і практичні результати, які полягають у наступному.

1. Проведено аналіз існуючих методів для розв’язування задач відновлення гармонічних та бігармонічних функцій. Виявлено коло проблем, що залишилися невирішеними: розвиток несіткових методів, удосконалення алгоритмів відновлення функції особливо для областей довільної конфігурації, модифікація методів та створення нових геометричних моделей для розв’язування нових класів задач, зокрема, для задач кручення стержнів та згину пружних пластин. Аналіз досліджень показав тісний зв’язок метода барицентричного усереднення з методами скінченних різниць, скінченних елементів, граничних елементів та методом Монте-Карло.

2. Розроблено математичні моделі для розв’язування задач дослідження температурних полів та теорії потенціалів. Дістав подальшого розвитку геометричний метод моделювання двовимірних та тривимірних елементів серендипової сім’ї. В роботі вперше побудовані геометричні моделі у вигляді трикутних та серендипових дискретних елементів вищих порядків для методу барицентричного усереднення, розповсюджено геометричний підхід на тривимірні елементи та плоскі елементи з криволінійною границею у полярних координатах. Запропонований підхід моделювання серендипових скінченних елементів усуває недоліки традиційного алгебраїчного підходу, пов’язані зі складанням та розв’язуванням великих систем рівнянь і дозволяє отримувати альтернативні базиси на серендипових елементах.

3. Вперше побудовані однокрокові багатомаршрутні схеми випадкових блукань методу Монте-Карло на мультиплексі з поглинаючими, відбиваючими та неідеально відбиваючими вузлами для розв’язування двовимірних еліптичних задач удосконаленим методом барицентричного усереднення. Використання таких моделей дозволяє розв’язувати задачі з різними типами граничних умов.

4. Запропоновано метод згладжування фізичного поля в квадратній пластині за допомогою білінійної інтерполяції, що на відміну від традиційного методу найменших квадратів, суттєво обмежує хвилеутворення за рахунок використання поліномів не вище другого степеня (незалежно від кількості вузлів на границі). Ефективність зваженого усереднення білінійних складових фізичного поля перевірено на прикладі розв’язування задачі визначення температурного поля пластини.

5. Вперше запропоновано метод моделювання деформацій згину пластин на основі узагальнення геометричного методу побудови базисних функцій скінченних елементів та геометричним методом побудовано базисні функції трикутного скінченного елемента ермітова типу з 9 ступенями волі. Геометричний підхід дозволяє уникнути перетворень матриць 9 порядку. Запропоновано новий підхід до моделювання трикутного дискретного елемента Морлі, який зведено до розв’язування оберненої задачі на дотичні площини.

6. Розроблено варіанти метода барицентричного усереднення для відновлення гармонічних функцій на прикладі розв’язування задачі кручення призматичних стержнів з довільною формою поперечного перерізу та бігармонічних функцій на прикладі розв’язування рівняння Софі Жермен, що моделює деформації згину пружних пластин. Для спеціальних випадків досліджено наявність та розташування точок суперзбіжності, використання яких суттєво скорочує об’єм обчислень. Показано ефективність запропонованого методу барицентричного усереднення по відношенню до сіткових методів, у яких здійснюється обробка та збереження надлишкової, а головне непотрібної інформації.

7. Практичне значення результатів дисертаційної роботи підтверджено впровадженням запропонованих методів і обчислювальних алгоритмів в ОАО „Херсонський завод карданних валів” (м. Херсон) та Старосамбірський льонокомбінат (м. Старий Самбір Львівської обл.) для проектних розрахунків температурних полів пластинчастих елементів різноманітної конфігурації в деталях механізмів, а також для розрахунків характеристик при крученні стержневих елементів різноманітних поперечних перерізів та при згинних деформаціях пружних пластин. Отримані результати використовуються в навчальному процесі в ХНТУ та ХДУ, що підтверджено відповідними актами впровадження.

Таким чином, була досягнута мета дослідження, яка полягає у підвищенні ефективності чисельного моделювання технічних систем шляхом розробки математичних моделей скалярних та векторних фізичних полів для розв’язування задач відновлення гармонічних та бігармонічних функцій багатьох змінних за допомогою методу барицентричного усереднення.

Публікації автора:

1. Манойленко О. С. Геометричне моделювання тривимірних скінченних елементів вищих порядків / О. С. Манойленко, Н. В. Колеснікова // Прикладна геометрія та інженерна графіка: Міжвідомчий науково-технічний збірник.– К.: КНУБА, 2001.–Вип. 68.– С. 147-150.

2. Манойленко О. С. Просторові схеми випадкових блукань у мультиплексах / О. С. Манойленко, Н. В. Колеснікова, А. Н. Хомченко // Вісник Запорізького державного університету: Збірник наукових статей. Фізико-математичні науки. Біологічні науки.– Запоріжжя: Запорізький державний університет, 2001.– №1.– С. 61-64.

3. Манойленко О. С. Математична модель випадкових блукань у мультиплексі / О. С. Манойленко, Н. В. Колеснікова // Автоматика. Автоматизация. Электротехнические комплексы и системы.– Херсон: ХГТУ, 2001.–№2 (9).– С.21-27.

4. Колеснікова Н. Метод барицентричного усереднення у задачах згину пластин / Н. Колеснікова // Вестник Херсонского государственного технического университета. Вып. 2 (15). – Херсон: ХГТУ, 2002.– С.223-226.

5. Манойленко О.С. Блукання броунівської частинки у дискретному елементі зі штрафними маршрутами / О. С. Манойленко, Н. В. Колеснікова // Вестник Херсонского государственного технического университета. Вып. 3 (19). – Херсон: ХГТУ, 2003.– С. 258-262.

6. Хомченко А. Н. Компьютерные оценки квадратичной поправки МБУ в расчетах электростатического поля / А. Н. Хомченко, О. В. Цыбуленко, Н. В. Колесникова // Геометричне та комп’ютерне моделювання: Збірник наукових праць.– Харків, 2004.–Вип. 6.– С. 9-13.

7. Хомченко А. Н. Геометричні моделі згладжування потенціального поля у квадраті / А. Н. Хомченко, О. І. Литвиненко, Н. В. Валько, Н. В. Колеснікова // Геометричне та комп’ютерне моделювання: Збірник наукових праць.– Харків, 2004.–Вип. 7.– С. 19-25.

8. Колеснікова Н. В. Геометричний метод побудови базисних функцій трикутного елемента для моделювання деформацій згину пластини / Н. В. Колеснікова // Вестник Херсонского национального технического университета. Вып. 2 (22). – Херсон: ХНТУ, 2005.– С.148-151.

9. Хомченко А. Н. Геометрія моделі Морлі / А. Н. Хомченко, Н. В. Колеснікова, Н. О. Козуб // Прикладна геометрія та інженерна графіка. Праці / Таврійська державна агротехнічна академія – Вип. 4, т. 35.– Мелітополь: ТДАТА, 2007.– С.63-68.

10. Козуб Н. А. Построение базиса Морли интегрированием полных дифференциалов / Н. А. Козуб, Н. В. Колесникова, А. Н. Хомченко // Вестник Херсонского национального технического университета. Вып. 4 (27). – Херсон: ХНТУ, 2007.– С.90-93.

11. Колеснікова Н. В. Про одне узагальнення лінійної інтерполяції на трикутниках Куранта / Н. В. Колеснікова, А. Н. Хомченко // Прикладна геометрія та інженерна графіка. Праці / Таврійський державний агротехнологічний університет – Вип. 4, т. 39.– Мелітополь: ТДАТУ, 2008.– С.65-69.

12. Манойленко Е. Геометрическое моделирование базисных функций в полярных координатах / Е. Манойленко, Н. Колесникова, А. Хомченко // Інформаційна інфраструктура вищих закладів освіти: Зб. наук. пр. Том 2.– Херсон, 2000.– С. 187-191.

13. Anatoliy N. Khomchenko Approximated estimations of geometrical stiffness in torsion of prismatic beams / Anatoliy N. Khomchenko, Nataliya V. Kolesnikova, Pavel M. Zub // Proceedings of the 10-th international conference on geometry and graphics.– Volume 1.– KYIV, 2002.– PP. 279-282.

14. Литвиненко Е. И. Сирендиповы конечные элементы с нерегулярным расположением узлов / Е. И. Литвиненко, Н. В. Колесникова // Математические модели в образовании, науке и промышленности: Сб. науч. трудов.– С.-Пб.: Санкт-Петербургское отделение МАН ВШ, 2003.– С. 132-135.

15. Олексенко О. В. Про підходи до реалізації метода Монте-Карло / О. В. Олексенко, Н. В. Колеснікова // Пошук молодих. Вип. 4. Зб. матеріалів Всеукраїнської студентської науково-практичної конференції “Компетентісний підхід до вивчення природничо-математичних дисциплін у закладах середньої ланки освіти”.– Херсон: Видавництво ХДУ, 2005.– С. 163-166.

16. Колеснікова Н. В. Модель Морлі для згинних деформацій пластин / Н. В. Колеснікова // Материалы ІІІ Международной научно-практической конференции “Дни науки – 2007”.– Том 9. Математика. Современные информационные технологии. Физика. Химия и химические технологии.– Днепропетровск: Наука и образование, 2007.– С. 15-18.

17. Хомченко А. Н. Ймовірнісно-геометричний підхід до моделювання елементів сирендипової сім’ї / А. Н. Хомченко, О. І. Литвиненко, Н. В. Колеснікова // Зб. наук. статей “Інформатика та комп’ютерна підтримка навчальних дисциплін у середній і вищий школі”.– Бердянськ, 2004.– С. 125-127.