Анотація до роботи:

Зуб П.М. Моделі барицентричного усереднення та методи відновлення гармонічних функцій – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 01.05.02 – математичне моделювання та обчислювальні методи. – Харківський національний університет радіоелектроніки, Харків, 2007.

Робота присвячена розробці і розвитку нових рандомізованих обчислювальних методів, адаптованих до конкретних задач відновлення гармонічних функцій в ортотропному середовищі, а також побудові і комп’ютерному діагностуванню обчислювальних властивостей двовимірних і тривимірних кубатурних формул Ньютона-Котеса на дискретних елементах.

Найбільшу увагу у роботі присвячено методу барицентричного усереднення (МБУ), в якому реалізовано прискорену однокрокову схему випадкових блукань методу Монте-Карло. До головних результатів слід віднести розширення області використання МБУ на ортотропні середовища, а також удосконалення обчислювальних схем, в які включено шаблони з неідеально поглинаючими та відбиваючими вузлами, що відкриває нові можливості для моделювання різноманітних граничних умов. На базі нових обчислювальних схем МБУ створена інформаційна технологія для розв’язування стаціонарних задач математичної фізики в ортотропному середовищі. Також важливим результатом є створення на принципах зваженого усереднення ієрархічної процедури побудови кубатурних формул Ньютона-Котеса на дискретних дво- і тривимірних елементах.

У роботі наведені результати, які є розв’язком задачі підвищення швидкості обчислень шляхом використання ідеї барицентричного усереднення граничних потенціалів в задачах дослідження стаціонарних фізичних полів в областях складної конфігурації з урахуванням ортотропії середовища та в задачах побудови двовимірних та тривимірних кубатур на дискретних елементах.

1. Проаналізовано сучасний стан обчислювальних технологій типу Монте-Карло, перспективи їх розвитку. На основі проведеного аналізу знайдено загальний принцип, що об’єднує різноманітні моделі на основі барицентричних ідей. Вперше доведено, що МБУ є практичним втіленням теореми про середнє гармонічної функції, якщо інтеграл замінити відповідною інтегральною сумою.

2. За допомогою статистичних експериментів з випадковими блуканнями обґрунтовано ключові ідеї МБУ як несіткового варіанта методу Монте-Карло. Прискорення обчислень здійснюється за рахунок заміни апостеріорних перехідних ймовірностей апріорними. Доведено, що перехідні ймовірності стійко групуються біля значення барицентричної координати у симплексі.

3. Розроблено нові версії МБУ для розв’язування стаціонарних задач математичної фізики в ортотропному середовищі, що дозволяє, на відміну від попередніх версій МБУ, враховувати фізичні аномалії середовища. Запропоновано математичні моделі теплопровідності в ортотропному середовищі та формули МБУ для обчислень на шаблонах однокрокових схем випадкових блукань.

4. На модельних задачах проаналізовано залежності температури і точності розрахунків від показника ортотропії, від моделі теплопровідності в ортотропному середовищі, від форми обчислювального шаблону, від способу усереднення на сукупності «стоп-кадрів» МБУ. В результаті проведеного аналізу зроблено наступні висновки:

• кількість вибіркових граничних вузлів можна звести до мінімуму за рахунок використання гіпотези дифузійної плями;

• МБУ забезпечує прийнятну точність (похибка до 10%), особливо, якщо врахувати, що коливання теплофізичних характеристик в ортотропних матеріалах сягають 15%.

5. Для МБУ створено дискретні схеми випадкових блукань на шаблонах з відбиваючими та неідеально поглинаючими вузлами, що, на відміну від попередніх версій МБУ, відкриває можливості для розв’язання задач з ідеальною та неідеальною теплоізоляцією.

6. На принципах барицентричного усереднення створено ієрархічну процедуру побудови кубатур Ньютона-Котеса на дискретних дво- і тривимірних елементах, отримані альтернативні формули на центрованих дискретних елементах у формі трикутника, квадрата, тетраедра і куба. Це дозволяє будувати відомі та нові альтернативні кубатури для дискретних елементів вищих порядків. Здійснено порівняння експериментального спектру вагових коефіцієнтів з теоретичним, яке виявило, що тестування центрованих кубатур потребує більш складної моделі блукань, ніж симетричні блукання. Випробувана ідея «слідкуючих» маршрутів у моделях несиметричних блукань з ефектом «дрейфу» частинок, що дозволило досягти узгодженості між моделлю та експериментом.

7. Проведено ймовірнісне обґрунтування використання базисних функцій як перехідних ймовірностей в обчислювальних формулах МБУ на шаблонах вищих порядків за рахунок оригінальної ідеї «штрафних» маршрутів в однокрокових схемах випадкових блукань.

8. Розроблено математичну модель, алгоритми та програми розв’язання задачі хронометрування у середньому просторових випадкових блукань.

Розроблені у роботі обчислювальні методи та створені на їх основі програми дають зручний практичний спосіб апроксимації гармонічної функції в довільній області на основі дискретно поданої граничної інформації. Отримані результати можуть використовуватися для розв’язання таких класів задач: задачі стаціонарної теплопровідності, які виникають при дослідженні теплових полів; визначення гравітаційного потенціалу, створеного розподілом вагомих частинок; визначення електростатичного потенціалу від множини точкових зарядів. Крім цього, такі задачі виникають також в гідродинаміці рідини, що не стискається. Особливо зручно користуватись МБУ, коли треба провести розрахунки лише в деяких точках області (задача визначення геометричної жорсткості при крученні призматичних стержнів із різними перерізами).

Використання результатів дисертації дозволяє мінімізувати зусилля, як людські, так і ЕОМ, які необхідні для розв’язання задач еліптичного типу.

Публікації автора:

1. Зуб П.М., Лурье И.А., Хомченко А.Н. Симплекс с отражающими узлами для задач эллиптического типа // Автоматика. Автоматизация. Электротехнические комплексы и системы. – 1999. – № 1 (4). – С. 131 – 135.

2. Хомченко А.Н., Хомченко Б.А. Зуб П.М. Ортотропные модели барицентрического усреднения граничных потенциалов в областях сложной геометрии // Вестник Херсонского государственного технического университета. – 2000. – № 1 (7). – С. 24 – 28.

3. Ляхович Т.П., Зуб П.М. Визуализация функций формы в полярных координатах // Прикладная геометрия и инженерная графика. – Мелитополь: Таврическая государственная агротехническая академия, 1998. – Вып. 4, Т. 4. – С. 78 – 80.

4. Зуб П.М., Лурье И.А. Модели двумерного симплекса с неидеально отражающими узлами // Вестник Херсонского государственного технического университета. – 2001. – № 3 (12). – С. 105 – 106.

5. Зуб П.М., Лурье И.А. Хомченко А.Н. Компьютерная реализация методов барицентрического усреднения для задач эллиптического типа // Вестник Херсонского государственного технического университета. – 2002. – № 1 (14). – С. 46 – 49.

6. Зуб П.М., Хомченко А.Н., Цыбуленко О.В. Кубатуры Ньютона-Котеса для пространственных дискретных элементов // Геометрическое и компьютерное моделирование. – Харьков: Харьковский государственный университет питания и торговли, 2004. – Вып. 5. – С. 20 – 24.

7. Зуб П.М., Плаксіна О.В., Хомченко А.Н. Задача хронометрування в середньому просторових випадкових блукань // Вісник Херсонського національного технічного університету. – 2006. – № 2 (25). – С. 203 – 207.

8. Компьютерная программа «Барицентрическое усреднение граничных потенциалов»: А.с. ПА №3099. Україна. А.Н. Хомченко, Б.А. Хомченко, П.М. Зуб. Опубл. 02/06/2000г.

9. Ходаков В.Є., Хомченко Б.А., Зуб П.М. Випадкові блукання і комп’ютерні експерименти на симплексних решітках // Математические модели и современные информационные технологии. – НАН Украины: Ин-т математики, Киев. – 1998. – С.24 – 28.

10. Хомченко А.Н., Хомченко Б.А., Зуб П.М. Тетраэдральные решетки для маршрутизации случайных блужданий в пространстве // Сб. тр. Межд. научно-практ. конф. «Современные проблемы геометрического моделирования». – Харьков, 1998. – Т. 2. – С. 153 – 157.

11. Лурье И.А., Зуб П.М. Разработка программного обеспечения способа вращения симплекса // Сб. тр. 5-й Межд. научно-практ. конф. «Современные проблемы геометрического моделирования». – Мелитополь: Таврическая государственная агротехническая академия, 1998. – С. 49 – 51.

12. Зуб П.М., Хомченко Б.А. Программное обеспечение метода барицентрического усреднения // Сб. тр. Межд. научно-методич. конф. «Компьютерное моделирование». – Днепродзержинск, 2000. – С. 200 – 201.

13. Khomchenko A.N., Kolesnikova N.V., Zub P.M. Approximated estimations of geometrical stiffness in torsion of prismatic beams // The 10 International Conference on Geometry and Graphics. – Kyiv, 2002. – P.279 – 282.

14. Хомченко А.Н., Зуб П.М., Цибуленко О.В. Геометрія випадкових блукань у центрованих дискретних елементах // Матер. міжнар. наук.-практ. конф. «Сучасні проблеми геометричного моделювання». – Львів, 2003. – С.104 – 106.

15. Зуб П.М., Хомченко А.Н. О барицентрическом аспекте в математическом моделировании // Математические модели в образовании, науке и промышленности: Сб. науч. тр. С-Пб.: Санкт-Петербургское отделение МАН ВШ, 2003. – С. 85 – 91.

16. Хомченко А.Н., Тулученко Г.Я., Зуб П.М. Построение кубатурных формул методом барицентрического усреднения для треугольных конечных элементов // Материалы научно-практич. конф. «Перспективные разработки науки и техники». – Белгород: Руснаучкнига; Днепропетровск: Наука и образование, 2004. – Т. 10. – С. 49 – 51.

17. Хомченко А.Н., Тулученко Г.Я., Зуб П.М., Цыбуленко О.В. Опыт организации изучения методов приближенного интегрирования студентами инженерных специальностей // Тезисы докладов 3 Всероссийской конф. «Необратимые процессы в природе и технике». – М: МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2005. –С.351 – 353.

18. Плаксина О.В., Зуб П.М., Тулученко Г.Я., Астионенко И.А., Хомченко А.Н. Об одной вероятностной задаче на антипризме // Материалы Всеукраинского научно-методического семинара «Компьютерное моделирование в образовании». – Кривой Рог: КГПУ, 2006. – С. 44-45.