Анотація до роботи:

Ченцов О.І. Моделі та методи дослідження абстрактних обчислювальних структур в категорній аксіоматиці. --- Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико -- математичних наук зі спеціальності 01.05.01 --- теоретичні основи інформатики та кібернетики. --- Київський національний університет імені Тараса Шевченка. --- Київ, 2007.

В дисертації описано теоретико-категорні моделі абстрактних обчислювальних структур, співвідношення між абстрактними обчислювальними структурами та умови їх еквівалентності. Досліджено загальну структуру підоб'єкту та одержані співвідношення між алгебрами підоб'єктів пов'язаних мономорфізмом об'єктів. Доведено категорне узагальнення теореми Кантора--Бернштейна для категорій, в алгебрах підоб'єктів яких існують -об'єднання та когерентні доповнення.

Отримано ряд тверджень для доведення різних властивостей морфізмів за допомогою принципу індукції. Розширено метод побудови морфізмів в термінах імперативної мови програмування. Для категорної реалізації конструкції while введено поняття ітеративних морфізмів з інваріантами.

За допомогою розвинутих методів побудовано ізоморфізми об'єкта натуральних чисел та різних структур, похідних від об'єкта натуральних чисел. А саме для скінченних сум, скінченних декартових добутків, зчисленних сум та нескінченних підоб'єктів об'єкту натуральних чисел. Отримані достатні умови для існування цих ізоморфізмів в конкретній категорії.

В дисертації запропоновано теоретичне узагальнення та новий підхід до побудови моделей абстрактних обчислювальних структур в категорній аксіоматиці, досліджені співвідношення та умови еквівалентності таких структур. Основними результатами дисертації є наступні:

Розроблено індуктивну методику доведення співвідношень для морфізмів, областю (чи кообластю) яких є об'єкт натуральних чисел.

Запропоноване поняття ітеративних морфізмів з інваріантами, спосіб та умови реалізації конструкції циклу while за допомогою таких морфізмів.

Побудовані ізоморфізми об'єкта натуральних чисел в об'єкти скінченних та зчисленних сум об'єктів натуральних чисел, а також в об'єкт цілих чисел.

Запропоновано і доведено ізоморфність нумерації абстрактної структури пар натуральних чисел в категорній аксіоматиці. На відміну від традиційної нумерації, дана спирається виключно на ітерацію та властивість парності.

Одержані умови ізоморфності області нескінченного підоб'єкта об'єкта натуральних чисел об'єктові натуральних чисел, тобто умови виконання ₀-варіанту теореми Кантора–Бернштейна. Одержано конструкцію ізоморфізму.

Одержані ізоморфні ітератори для систем з базовим типом N (для довільних композитних типів). Вони є категорними реалізаціями простих та зрозумілих узагальнених алгоритмів.

Доведено категорне узагальнення теореми Кантора–Бернштейна за умови існування в алгебрах підоб'єктів w-об'єднань та когерентних доповнень.

Досліджено умови виконання теореми Кантора–Бернштейна для відносних категорій. Показано, що якщо теорема має місце для відносної категорії , де об'єкт X непорожній, то вона також матиме місце для вихідної категорії .

Публікації автора:

1. Ченцов А.И., Провотар А.И. Обобщение теоремы Кантора – Бернштейна для булевых топосов // Компьютерная математика. – 2003. – № 2. – С. 45–53.

2. Ченцов А. И., Провотар А. И. Конечные декартовы произведения объектов натуральных чисел в топосах // Компьютерная математика. – 2004. – № 2.– С. 136–143.

3. Ченцов А.И. Суммы объектов натуральных чисел в топосах // Компьютерная математика. – 2005. – № 2.– С. 34–143.

4. Ченцов А.И., Провотар А.И. Обобщение линейных морфизмов на N в топосах // Кибернетика и системный анализ. – 2005. – № 5.– С. 66–72.

5. Ченцов О.І., Провотар О.І. Теорема Кантора – Бернштейна в контексті проблеми ідентифікації об’єктів // Тези доп. міжн. конф. “Системний аналіз та інформаційні технології”. – Київ: ІПСА, 2003. – С. 120–121.

6. Ченцов О.І. Ітератори кортежів натуральних чисел в конструктивних абстракціях функціонального програмування // Тези доп. міжн. конф. “Теоретичні та прикладні аспекти побудови програмних систем”. – Київ: НаУКМА, 2004. – С.76–79.