Анотація до роботи:

Жир С.І. Найкращі поліноміальні наближення цілих трансцендентних функцій узагальненого порядку в комплексній площині. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01. – математичний аналіз. – Дніпропетровський національний університет, Дніпропетровськ, 2009.

В дисертаційній роботі досліджуються питання поведінки найкращих поліноміальних наближень цілих трансцендентних функцій в деяких банахових просторах, а саме встановлюються співвідношення, які визначають узагальнені порядки зростання цілих трансцендентних функцій через їх найкращі поліноміальні наближення вздовж контура і по області.

Встановлено зв’язки між різними узагальненими характеристиками зростання цілих трансцендентних функцій f та їх найкращими поліноміальними наближеннями , де X є одним з банахових просторів Харді , Бергмана або аналітичних в колі одиничного радіуса функцій.

Отримано теореми типа Адамара, які пов’язують узагальнений -порядок зростання та узагальнений -порядок зростання цілих трансцендентних функцій f з коефіцієнтами їх розкладань в ряди Фабера в скінченній однозв’язній області G з межею , або належить до класу С.Я.Альпера. Ці теореми є розповсюдженням відповідних результатів С.К.Балашова та М.Н.Шеремети з кола одиничного радіуса на однозв’язну область комплексної площини.

На цій підставі отримано граничні рівності, які пов’язують між собою узагальнені та -порядки зростання та цілих трансцендентних функцій f та послідовності їх найкращих поліноміальних наближень в бананових просторах або В.І.Смірнова .

Зазаначене дозволило отримати вичерпну інформацію про швидкість прямування до нуля при послідовностей найкращих поліноміальних наближень для різних класів цілих трансцендентних функцій.

Дисертація присвячена задачам дослідження поведінки найкращих поліноміальних наближень цілих трансцендентних функцій узагальнених порядків зростання. Основні наукові результати дисертаційної роботи полягають в наступному.

1. Одержано необхідні і достатні умови для того, щоб функція , де X є одним з банахових просторів Харді , Бергмана або аналітичних в колі одиничного радіуса функцій, була цілою трансцендентною скінченною узагальненого -порядку зростання або скінченного узагальненого -порядку зростання . Ці результати є узагальненням досліджень A.R.Reddy, S.M.Shah, І.І.Ібрагімова, Н.І.Шихалієва, O.P.Juneja, С.Б.Вакарчука, проведених для цілих трансцендентних функцій звичайного порядку зростання , оскільки їх можна отримати при певній конкретизації функцій та .

2. Знайдено необхідну і достатню умову для того, щоб функція , де X є одним з банахових просторів , або , була цілою трансцендентною узагальненого -порядку зростання , який розглядається у випадку, . Зазначена умова містить величини найкращих поліноміальних наближень , характеризує швидкість їх прямування до нуля при та не має аналогів при будь-якій конкретизації функції .

3. Одержано теореми типа Адамара, в яких встановлено звя’зок між узагальненими характеристиками зростання та максимума модуля цілих трансцендентних функцій f та коефіцієнтами їх розкладань в ряди Фабера в скінченній однозв’язній області G, обмеженій кривою з класу С.Я.Альпера. Ці результати є розповсюдженням відповідних результатів С.К.Балашова та М.Н.Шеремети з кола одиничного радіуса на однозв’язну область комплексної площини.

4. Одержано необхідні і достатні умови для того, щоб функція , де X є одним з банахових просторів або В.І.Смірнова , була цілою трансцендентною скінченного узагальненого -порядку зростання або скінченного узагальненого -порядку зростання . Зазначені умови при визначають швидкість прямування до нуля послідовностей найкращих поліноміальних наближень цілих функцій f з відповідними характеристиками зростання. У випадку одержані результати при певній конкретизації функцій та містять деякі з результатів R.S.Varga, А.В.Батирєва, S.M.Shah, A.R.Reddy, І.І.Ібрагімова, Н.І.Шихалієва, G.S.Srivastava, С.Б.Вакарчука, що стосуються даної тематики.

Однак, при будь-якій конкретизації функції , результати, встановлені для характеристики зростання , аналогів не мають.

Основні результати дисертації опубліковано в наступних роботах:

1. Вакарчук С.Б. О полиномиальной аппроксимации целых трансцендентных функций / С.Б.Вакарчук, С.И.Жир // Мат. физика, анализ, геометрия. – 2002. – Т.9, №4. – С.595-603.

2. Вакарчук С.Б. Некоторые вопросы полиномиальной аппроксимации целых транцендентных функций / С.Б.Вакарчук, С.И.Жир // Укр. мат. журн. – 2002. – Т.54, №9. – С.1155-1162.

3. Вакарчук С.Б. О полиномиальной аппроксимации целых трансцендентных функций в комплексной плоскости / С.Б.Вакарчук, С.И.Жир // Проблеми теорії наближення функцій та суміжні питання / Збірник праць Ін-ту матем. НАН України. – К.: Ін-т матем. НАН України, 2005. – Т.2. – С.27-42.

4. Вакарчук С.Б. О наилучшем полиномиальном приближении целых трансцендентных функций обобщенного порядка / С.Б.Вакарчук, С.И.Жир // Укр. мат. журн. – 2008. – Т.60, №8. – С.1011-1026.

5. Vakarchuk S.B. Polynomial approximation of entire functions of generalized order in the unit disk / S.B.Vakarchuk, S.I.Zheer // Book of abstracts. Intern. Akhiezer Centenary Conf. Inst. for Low Temp. Physics and Engin., Kharkov Nat. Univ. – Kharkov, 2001. – P.98-99.

6. Жир С.И. О наилучшем полиномиальном приближении целых трансцендентных функций в пространствах В.И.Смирнова / С.И.Жир, С.Б.Вакарчук // Современные методы теории функций и смежные проблемы / Материалы конференции “Воронежская зимняя математическая школа”, 26 января – 2 февраля 2003г. – Воронеж, 2003. – С. 98-99.

7. Жир С.И. Некоторые вопросы наилучшего полиномиального приближения целых трансцендентных функций многих комплексных переменных / С.И.Жир, С.Б.Вакарчук // Тезисы докладов 12-й Саратовской зимней школы “Современные проблемы теории функций и их приложения”. – Саратов, 2004. – С.83-84.

8. Жир С.И. О полиномиальной аппроксимации целых функций в комплексной плоскости / С.И.Жир, С.Б.Вакарчук // Тезисы докладов 13-й Саратовской зимней школы “Современные проблемы теории функций и их приложения”. – Саратов, 2006. – С.70-71.

9. Жир С.И. Некоторые вопросы полиномиальной аппроксимации целых трансцендентных функций / С.И.Жир, С.Б.Вакарчук // Тези доповідей Міжнародної наукової конференції “Математичний аналіз і дифереціальні рівняння та їх застосування”, 18-23 вересня 2006р., Ужгород. – Ужгород, 2006. – С.34-35.

10. Жир С.И. О наилучшем полиномиальном приближении целых трансцендентных функций в конечной односвязной области комплексной плоскости С / С.И.Жир // Тези доповідей міжнародної наукової конференції “Диференціальні рівняння, теорія функцій та їх застосування” з нагоди 70-річчя з дня народження академіка А.М.Самойленко, 16-21 червня 2008р., Мелітополь. – К.: Ін-т матем. НАН України, 2008. – С.49.