65. Вотякова Леся Андріївна. Напівгрупи напівстохастичних матриць та їх застосування: дис... канд. фіз.-мат. наук: 01.01.06 / Київський національний ун-т ім. Тараса Шевченка. - К., 2004.
Анотація до роботи:
Вотякова Л.А. Напівгрупи напівстохастичних матриць та їх застосування.- Рукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.06 – алгебра і теорія чисел. – Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2004.
Робота присвячена вивченню напівгруп напівстохастичних матриць. Доведено, що такі напівгрупи регулярні і за наявності власного проектора кожен елемент породжує циклічну групу. З’ясовано умови існування невласного елемента у такої групи, причому для явного подання цього елемента істотно використовувались характеристики графа, породженого напівстохастичною матрицею. Графоаналітичні характеристики дають явне подання лівого власного вектора напівстохастичної матриці, який відповідає власному значенню 1, що покладено в основу нового методу розв’язування лінійних систем рівнянь.
Оскільки функції від напівстохастичних матриць, взагалі кажучи, не є напівстохастичними, то їх напівгрупи розширюються до алгебр скінченного рангу, в яких побудовано основи аналізу.
Безпосереднім застосуванням напівстохастичних матриць є їх використання як породжуючих елементів квазімарковських ланцюгів. В залежності від типу породжуючої напівстохастичної матриці виділені і вивчаються основні класи таких ланцюгів.
В даній дисертаційній роботі розглядаються квадратні матриці над полем , сума елементів кожного рядка яких дорівнює 1. Множина таких матриць відносно природньої операції множення є регулярна напівгрупа. При дослідженні властивостей елементів виявились досить ефективними введені нові характеристики: індекси вершин графа, породженого напівстохастичною матрицею, та індекс матриці. Якраз через ці характеристики в явному вигляді подається лівий власний вектор, що відповідає власному числу 1, напівстохастичної матриці. А введена операція напівстохастичного розширення дала можливість “занурити” напівгрупу у напівгрупу .
Графоаналітичний метод спроможний розв’язувати класичні задачі: обчислення визначника, обертання матриці. Він є основою нового підходу до розв’язування лінійних систем.
Оскільки кожен елемент напівгрупи породжує циклічну групу, то в роботі з’ясовано, за яких умов вони володіють невласними елементами, тобто за яких умов збігається за Коші або за Чезаро послідовність . І знайдено явне подання такого елемента через індекси вершин графа, породженого матрицею.
Якщо умову рівності 1 суми кожного рядка замінити вимогою сталості сум рядків, то напівгрупа розширюється до алгебри рангу . Більше того, для кожної функції , визначеної на спектрі матриці є, є. А оскільки алгебра нормується, причому обрана норма породжується скалярним добутком, то отримані результати є відправною точкою для побудови аналізу відображень алгебри в себе.
Отримані результати дали можливість через напівстохастичну матрицю і граф, породжений нею, ввести новий об’єкт – квазімарковський ланцюг, основними характеристиками якого є функціонали (індекси переходів) на його реалізаціях. Виділено два класи таких ланцюгів: поглинаючих за наявністю тупикових вершин на графі, регулярних і ергодичних за наявністю стійкості індексів переходів при зростанні їх числа. Важливою характеристикою таких ланцюгів є фундаментальна матриця, для якої знайдено явне подання, що у свою чергу дозволило знайти квазісереднє і квазідисперсію числа переходів на графі з i-тої вершини до першого попадання у j-ту вершину.
Автор висловлює щиру подяку своєму науковому керівникові доктору фізико-математичних наук, професору Працьовитому М.В. за допомогу та постійну увагу до роботи.
Публікації автора:
Вотякова Л.А. О некоторых свойствах полугруппы полустохастических матриц// Известия Гомельского Государственного университета им. Ф.Скорины.- 2001.- №3(6).-Вопросы алгебры-17.-С.58-67.
Вотякова Л.А. Графо-аналітичні характеристики напівстохастичних матриць та їх застосування//Наукові записки ВДПУ ім.М.Коцюбинського. Сер. Фізика і математика.-Вінниця, 2002.-№1.-С.242-257.
Працьовитий М.В., Вотякова Л.А. Графо-аналітичні характеристики напівстохастичних матриць та їх застосування//Наукові записки НПУ імені М.П.Драгоманова. Фізико-математичні науки.-Київ,2002.-№3.-С.197-215.
Вотякова Л.А. Матрична алгебра // Наукові записки НПУ імені М.П.Драгоманова. Фізико-математичні науки. –– К.: НПУ імені М.П.Драгоманова. –– 2003, № 4. –– С. 14-17.
Томусяк А.А., Вотякова Л.А. Регулярні квазімарковські ланцюги// Тези доповідей звітної наукової конференції викладачів та студентів за 1994 рік.- Вінниця.- 1995.- С.7-8.
Вотякова Л.А. Зменшення розмірності лінійних систем рівнянь шляхом розбиття на блоки// Звітна наукова конференція викладачів за 1995 рік.-Вінниця.- 1996.- С.8.
Вотякова Л.А. Напівстохастичні матриці, властивості і застосування// Шоста Міжнародна наукова конференція ім. акад. М.Кравчука. Матеріали конференції.-Київ.- 1997.- С.95.
Панков О.А., Вотякова Л.А. Напівстохастичні оператори у скінченновимірному просторі// Звітна наукова конференція викладачів за 1997 рік. Тези доповідей .-Вінниця.- 1998.-С.26-27.
Вотякова Л.А. Напівгрупа напівстохастичних матриць, її структура// Звітна наукова конференція викладачів за 1998 рік.-Вінниця.- 1999.- С.13-15.
Votiakova L.A., Tomusiak A.A. On some Clifford’s semigroups// Друга Міжнародна алгебраїчна конференція в Україні, присвячена пам’яті проф. Калужніна Л.А.- Київ- Вінниця.-1999.- С.50.
Вотякова Л.А., Томусяк А.А. Графо-аналітичний метод розв’язування лінійних систем рівнянь// Матеріали міжвузівської регіональної наукової конференції.- Кіровоград.- 1999.- С.21-23.
Вотякова Л.А. Пониження розмірності лінійних систем рівнянь шляхом розбиття на блоки// 8 Міжнародна наукова конференція ім. акад. М.Кравчука. Матеріали конференції.-Київ.- 2000.- С.424.
Вотякова Л.А. Регулярні групи кліффордової напівгрупи // 3 Міжнародна алгебраїчна конференція в Україні.- Суми.-2001.- С.148-149.
Вотякова Л.А. Регулярні та ергодичні квазімарковські ланцюги // 9 Міжнародна наукова конференція ім. акад. М.Кравчука. Матеріали конференції.-Київ.- 2002.- С.416.
Вотякова Л.А. Про один метод побудови алгебр гіперкомплексних чисел// 10 Міжнародна наукова конференція ім. акад. М.Кравчука. Матеріали конференції.-Київ.- 2004.- С.334.
