Анотація до роботи:

Пепеляєва Т.В. Нелінійні динамічні моделі в задачах фінансової математики та теорії ризику. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.01 - теоретичні основи інформатики та кібернетики. - Інститут кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України, Київ, 2004.

Дисертаційна робота присвячена побудові динамічних моделей фінансового ринку та знаходженню умов існування оптимального керування стохастичною системою. Запропоновано два алгоритми визначення відсоткової ставки на ринку цінних паперів, причому обидва методи дають розв’язки нелінійних стохастичних диференційних рівнянь у явному вигляді. Застосування цих методів продемонстровано на прикладах рівнянь, які найчастіше використовуються при моделюванні відсоткової ставки на фінансовому ринку: рівнянні Кокса–Інгерсолла–Росса, рівнянні Халла–Вайта (розширенні Васічека) та рівнянні Кокса–Інгерсолла–Росса (розширенні Васічека). У роботі також досліджуються фінансові стратегії, моделюються портфелі акцій та облігацій. Розроблено два методи знаходження оптимальних моментів переключення між портфелями цінних паперів, що дає можливість інвестору, який оперує на фінансовому ринку, отримати максимальний прибуток при певному вкладі капіталу. Розглядаються однорідні керовані ланцюги Маркова при моделюванні фінансової стратегії та отримано умови існування оптимальної стратегії. Досліджуються стохастичні диференційні рівняння з дробовим вінерівським процесом та полем. Доведені теореми існування оптимального керування розв’язком цих рівнянь.

Основні наукові результати дисертаційної роботи:

1. Для моделювання відсоткової ставки на ринку цінних паперів розроблено новий метод розв’язування нелінійних стохастичних диференціальних рівнянь, який дає розв’язок у явному вигляді. Цей метод продемонстровано на конкретних прикладах фінансової та страхової математики (рівнянні Кокса-Інгерсолла-Росса, рівнянні Халла–Вайта (розширенні Васічека) та рівнянні Кокса-Інгерсолла-Росса (розширенні Васічека)).

2. Розроблено метод визначення відсоткової ставки на фінансовому ринку за допомогою узагальненого розв’язку стохастичного рівняння та добутку Віка. Метод продемонстровано на прикладі рівняння Кокса–Інгерсолла–Росса.

3. Розроблено метод знаходження оптимальних моментів переключення між портфелями акцій, вартості яких є процесами із суб- та супермартингальними властивостями. Детально описано випадок двох переключень між трьома фінансовими портфелями. Цей метод узагальнено на випадок N-1 переключення між N портфелями.

4. Розроблено метод визначення оптимальних моментів переключення між трьома та N портфелями акцій та облігацій у випадку, коли вартості акцій є факторизованими процесами та описуються стохастичними диференційними рівняннями, а вартості облігацій задовольняють звичайне диференціальне рівняння.

5. Знайдено умови існування оптимальної фінансової стратегії за допомогою теорії керованих ланцюгів Маркова. Досліджено випадки скінченних, зліченних та компактних множин станів керованої системи та множин вибору можливих фінансових стратегій.

6. Знайдено умови існування оптимального керування стохастичною динамічною системою, яка породжується дробовим вінерівським процесом.

7. Доведено теорему про існування оптимального керування випадковим полем, яке є розв’язком стохастичного рівняння з дробовим вінерівським полем.