Анотація до роботи:

Чурілова М.С. Нерівності типу Колмогорова для похідних дробового порядку та їх застосування в теорії апроксимації. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 - математичний аналіз. Дніпропетровський національний університет, Дніпропетровськ, 2006.

Дисертація присвячена дослідженню задачі про точні нерівності типу Колмогорова для похідних дробового порядку функцій однієї та багатьох змінних, а також порівнянню точних констант у нерівностях, що оцінюють норму мішаної похідної функції через норму самої функції та норми її частинних похідних, для періодичних і неперіодичних функцій багатьох змінних.

Одержано нові точні нерівності, що оцінюють -норму або модуль дробової похідної функції, заданої на всій числовій осі, напівосі або обмеженому інтервалі, через -норму самої функції та її гельдерову норму або -норму її першої похідної. Для функцій багатьох змінних отримані точні нерівності, що оцінюють -норму гіперсингулярного інтеграла з однорідною характеристикою через -норму та гельдерову норму функції. Результати, отримані для функцій з гельдерових просторів, узагальнено на випадок банаховозначних функцій. Одержані результати застосовано до розв’язку задачі Стєчкіна апроксимації необмеженого оператора дробового диференціювання обмеженими операторами на класах функцій, які задаються мажорантою модуля неперервності або обмеженнями на -норму першої похідної функції (для функцій одного змінного), а також до розв’язку такої задачі для необмеженого гіперсингулярного інтегрального оператора з однорідною характеристикою на класах функцій, які задаються мажорантою модуля неперервності (для функцій багатьох змінних).

Знайдено співвідношення між точними константами в нерівностях для „проміжних” похідних періодичних та неперіодичних функцій багатьох змінних. Одержано необхідні й достатні умови існування нерівностей для „проміжних” похідних функцій у -просторах та встановлено залежність між точною константою в одержаній нерівності та точною константою в нерівності для пе-ріодичних функцій. За допомогою одержаних співвідношень отримано нові точні нерівності типу Колмогорова для функцій багатьох змінних.

Дисертація присвячена одержанню нових точних нерівностей типу Колмогорова для дробових похідних функцій однієї та декількох змінних, а також порівнянню точних констант у нерівностях, що оцінюють норму мішаної похідної функції через норму самої функції та норми її частинних похідних, для періодичних і неперіодичних функцій багатьох змінних. Основні наукові результати дисертаційної роботи полягають у наступному.

1. Для функцій, означених на всій дійсній осі, одержано точну нерівність, що оцінює - норму дробової похідної за Риссом порядку через -норми самої функції та її другої похідної. Цей результат доповнює відомий результат С.П. Гейсберга, отриманий для дробових похідних у формі Маршо порядку . Для функцій, заданих на всій числовій осі або напівосі, одержані точні нерівності, що оцінюють -норму дробової похідної у формі Маршо через -норму самої функції та -норму її першої похідної. Для функцій, заданих на обмеженому інтервалі, отримані точні поточкові оцінки дробових похідних у формі Маршо через -норму функції та -норму її першої похідної. Одержані точні нерівності застосовано для розв’язання задачі Стєчкіна найкращого наближення необмеженого оператора дробового диференціювання обмеженими операторами на класах функцій, які задаються обмеженнями на -норму першої похідної функції.

2. Для функцій з гельдерових просторів отримані точні нерівності, що оцінюють -норму або модуль дробових похідних у формі Маршо функцій, заданих на всій числовій осі, напівосі або обмеженому інтервалі, через -норму та гельдерову норму самої функції. Аналогічні точні нерівності встановлені для -норм гіперсингулярних інтегралів з однорідною характеристикою від функцій багатьох змінних. Усі результати, одержані для гельдерових просторів, узагальнено на випадок банаховозначних функцій. Одержані точні нерівності застосовано до розв’язання задачі Стєчкіна найкращого наближення необмеженого оператора дробового диференціювання (для функцій одного змінного) та необмеженого гіперсингулярного інтегрального оператора з однорідною характеристикою (для функцій багатьох змінних) обмеженими операторами на класах функцій, які задаються мажорантою модуля неперервності.

3. Проведене порівняння точних констант в нерівностях, що оцінюють норму мішаної похідної через норму функції та норми її частинних похідних, для періодичних та неперіодичних функцій багатьох змінних. Доведено, що у випадку, коли обидві нерівності існують, точна константа в нерівності для неперіодичних функцій не перевершує точної константи в нерівності для періодичних функцій. Вказані умови, за яких ці точні константи співпадають. Ці результати узагальнюють результати В.Ф. Бабенка, В.О. Кофанова та С.О.Пічугова, які стосуються функцій одного змінного.

4. Встановлені необхідні й достатні умови існування нерівностей для „про-міжних” похідних функцій багатьох змінних у -просторах та знайдено залежність між точними константами в таких нерівностях і точними константами в аналогічних нерівностях для періодичних функцій. Ці результати узагальнюють результати В.Ф.Бабенка і С.А.Селіванової, які стосуються функцій одного змінного. За допомогою одержаного співвідношення між точними константами встановлені нові точні нерівності для функцій багатьох змінних.

Користуючись нагодою, висловлюю щиру вдячність моєму науковому керівникові професору Бабенку Владиславу Федоровичу за увагу, яку він приділив даній роботі, корисні поради та допомогу.

Основні результати дисертації опубліковані в роботах:

1. Бабенко В.Ф., Чурілова М.Г. Про нерівності типу Колмогорова для похідних дробового порядку// Вісник Дніпропетровського ун-ту. Математика. - 2001. - Вип. 6. - С. 16-20.

2. Babenko V.F., Churilova M.G. On the Kolmogorov type inequalities for fractional derivatives// East J. Approx. - 2002. - 8, № 4. - P. 437-446.

3. Бабенко В.Ф., Чурилова М.С. О неравенствах типа Колмогорова для дробных производных в многомерном случае// Вісник Дніпропетровського ун-ту. Математика. - 2003. - Вип. 8. - С. 26-30.

4. Babenko V.F., Churilova M.S. Comparison of sharp constants in inequalities for derivatives of periodic and non-periodic multivariate functions// East J. Approx. - 2005. - 11, № 4. - P. 405-435.

5. Чурилова М.С. О неравенствах типа Ландау-Колмогорова для дробных производных на отрезке// Вісник Дніпропетровського ун-ту. Математика. - 2005. - Вип. 10. - С. 127-134.

6. Бабенко В.Ф., Чурилова М.С. Сравнение точных констант в неравенствах типа Колмогорова для периодических и непериодических функций многих переменных// Укр. мат. журн. - 2006. - 58, № 5. - С. 597-606.

7. Чурилова М.С. О неравенствах для дробных производных банаховозначных функций из гельдеровых пространств// Вісник Дніпропетровського ун-ту. Математика. - 2006. - Вип. 11. - С. 120-127.

8. Churilova M.S. Comparison of the best constants in Kolmogorov type inequalities for multivariate functions// Міжнародна математична конференція ім. В.Я. Скоробогатька. Тези доповідей. - Львів, 2004. - С. 226.