Анотація до роботи:

Гічан О.І. Нерівноважні поверхневі структури реакційно-дифузійних систем типу активатор-інгібітор. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.04.18 – фізика і хімія поверхні. – Інститут хімії поверхні ім. О.О. Чуйка НАН України, Київ, 2008.

Дисертацію присвячено теоретичному дослідженню процесів самоорганізації у реакційно-дифузійних системах. За модельні вибрано дві системи типу активатор-інгібітор. Для першої системи - моделі ФітцХ’ю-Нагумо (ФХН), що вважається канонічною, встановлено умови виникнення низьковимірних просторових та часових структур при нестійкостях Тюрінга та Хопфа. Розглянута повна версія моделі ФХН у її нульвимірному, одновимірному та двовимірному випадках. Результати представлені через параметр зовнішньої сили, що розглядається як можливість зовнішнього контролю за поведінкою системи, виникненням у ній того чи іншого типу структур. Для другої модельної системи - електрохімічної системи з електрокаталітичною реакцією на поверхні сферичного мікроелектроду у потенціостатичних умовах розраховані значення частот, при яких у системі виникає біфуркація Хопфа. Встановлено вплив на ці біфуркаційні значення розмірів сферичного електрода та товщини дифузійного шару Нернста.

У дисертації, відповідно до поставленої мети та завдань, встановлено умови виникнення та особливості розвитку нерівноважних просторово - часових структур у двох реакційно-дифузійних моделях типу активатор-інгібітор. Головні результати та висновки можна сформулювати у вигляді наступних тверджень:

1. Вперше для повної версії реакційно-дифузійної моделі ФітцХ’ю-Нагумо розраховані значення параметра зовнішньої постійної сили, при яких у системі можливі біфуркації Хопфа та Тюрінга. На їх основі та за допомогою чисельного моделювання досліджені властивості двовимірних просторово-часових структур, що виникають у моностабільній та бістабільній системі ФітцХ’ю-Нагумо у результаті спільної дії біфуркацій Хопфа та Тюрінга.

2. Вперше отримано точний розв’язок редукованої одновимірної моделі ФітцХ’ю-Нагумо у вигляді біжучої хвилі (кінку), швидкість якої крім параметра постійної зовнішньої сили залежить від коефіцієнта дифузії активатора та рівня збудження системи. Подальше дослідження таких солітоноподібних режимів допоможе в розумінні механізмів порушення ритмічної активності біологічних систем

3. Для точкової системі ФХН як емпіричної моделі збудливих біологічних мембран на основі біфуркаційної теореми Хопфа знайдено залежність періоду стійких автоколивань динамічних змінних системи від постійної зовнішньої сили. У якості останньої можуть виступати різні чинники: малі частинки біологічно активних речовин, зовнішні електромагнітні поля, струми.

4. Вперше для модельної електрохімічної системи з електрокаталітичною реакцією на поверхні сферичного мікроелектроду у потенціостатичних умовах розраховані значення частот, при яких у системі виникає біфуркація Хопфа. Отримані результати можуть бути використані при оптимізації технологічного процесу, в основі якого лежать спонтанні коливання потенціалу (струму) електроду.

5. Показано, що область потенціалів, де спостерігається нестійкість Хопфа, зменшується зі зменшенням радіуса електрода. Останнє викликає також зміщення біфуркаційної частоти електрохімічної системи в область більш високих частот. При збільшенні товщини дифузійного шару Нернста біфуркаційна частота зміщується в область більш низьких частот для сферичного електрода одного й того самого радіусу.

Публікації автора:

1. Gichan O.I., Grechko L.G., Levchuk Yu.N. The nonlinear dynamics of the excitable biological membranes in the FitzHugh-Nagumo model // Physics of the alive. - 2001. - V. 9, № 2. - P. 97-108.

Здобувачем розраховано умови виникнення та границі існування стійкого граничного циклу, що відповідає надкритичній біфуркації Хопфа у точковій системі ФХН при її стимуляції постійним струмом. Розраховано його період та поправки до нього. Проведено чисельне моделювання впливу різних умов періодичної стимуляції на поведінку системи ФХН.

2. Булавин Л.А., Гичан О.И., Гречко Л.Г. Точное решение редуцированной системы ФитцХью-Нагумо для возбудимых биологических мембран // Доповіді НАН України. - 2002. - № 8. - С.75-79.

Здобувачем отримано формулу точного розв’язку редукованої системи ФХН при її стимуляції постійним струмом. Чисельно проаналізовано залежність параметрів розв’язку від цього контрольного параметру системи.

3. Гічан О.І., Лерман Л. Б., Гречко Л. Г., Склярів Ю.П. Просторово-часові структури в моделі ФітцХ’ю-Нагумо для збудливого та бістабільного середовищ // Вісник Київського університету. Серія фіз.-мат. науки. - 2005. - № 1. - с.311-318.

Здобувачем проведено теоретичне дослідження властивостей просторово-часових структур, що виникають у одновимірній системи ФХН, у результаті нестійкостей Хопфа та Тюрінга.

4. Булавін Л.А., Гічан О.І., Гречко Л.Г. Нові типи динамічних структур у системі ФітцХ’ю-Нагумо // Доповіді НАН України. - 2006. - № 10. - С. 69-74.

Здобувачем розраховано значення параметрів, що відповідають реалізації у системі ФХН біфуркацій Хопфа і Тюрінга. Для цих областей значень параметрів отримано нові типи поверхневих просторово-часових структур.

5. Гічан О.І., Гречко Л.Г. Змішані режими моделі ФітцХ’ю-– Нагумо: взаємодія та конкуренція біфуркацій Хопфа та Тюрінга // Вісник Київського університету. Серія фіз.-мат. науки. - 2007. - № 4. – С. 311-315.

На основі чисельного моделювання та раніше отриманих здобувачем аналітичних результатів проведено аналіз розвитку поверхневих структур, зумовлених спільною дією біфуркацій Хопфа та Тюрінга у моностабільній двовимірній системі ФХН.

6. Потоцкая В.В., Гичан О.И., Омельчук А.А., Волков С.В. Особенности поведения электрохимической системы при неустойчивости Хопфа для сферического электрода // Электрохимия. – 2008. – Т. 44, № 5. – С. 641-648.

Здобувачем виконані чисельні розрахунки, що дозволяють встановити зв’язок між розмірами сферичного електрода, фарадеєвським імпедансом і нестійкістю Хопфа у запропонованій електрохімічній системі.

7. Гічан О.І., Гречко Л.Г. Нелінійна динаміка біологічних збудливих мембран в моделі ФітцХ'ю-Нагумо // Тези доповідей ІІІ-го з'їзду Українського Біофізичного товариства, Львів, 2002, с. 157.

8. Gichan O.I., Grechko L.G. The FitzHugh-Nagumo model: responces to different stimulation regimes // Abstr. of the 5-th International Conference in Biological Physics ICBP, Gothenburg, Sweeden, 2004, р. 123.

9. Гичан О.И. Биологические возбудимые среды: особенности автоволновых процессов при различных режимах стимуляции // Материалы ІІ-го Евразийского конгресса по медицинской физике и инженерии „Медицинская физика 2005”, Москва, 2005, с. 271.

10. Гічан О.І. Модель ФітцХ’ю-Нагумо: біфуркації та динаміка // Матеріали Одинадцятої Міжнародної конференції ім. акад. М. Кравчука, Київ, 2006, с. 66.

11. Гічан О.І. Процеси самоорганізації у реакційно-дифузійній системі типу активатор-інгібітор // Автореферати доповідей Всеукраїнської конференції молодих вчених „Наноматеріали в хімії, біології та медицині”, Київ, 2006, с. 17-19.

12. Гічан О.І. Нестійкості та структури реакційно-дифузійних систем типу активатор-інгібітор // Автореферати доповідей Всеукраїнської конференції молодих вчених „Наноматеріали в хімії, біології та медицині”, Київ, 2007, с. 16.