Анотація до роботи:

Гринців Н.М. Обернені задачі для параболічних рівнянь з виродженням в областях з вільними межами. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 – диференціальні рівняння. Львівський національний університет імені Івана Франка, Львів, 2008.

У дисертаційній роботі встановлено умови існування та єдиності розв'язку обернених задач визначення залежного від часу старшого коефіцієнта в параболічному рівнянні зі слабким та сильним степеневим виродженням в області з вільною межею У випадку слабкого степеневого виродження розглядаються випадки інтегральної умови перевизначення та умови Стефана.

В області з двома невідомими ділянками межі знайдено умови ідентифікації залежного від часу старшого коефіцієнта у параболічному рівняння у випадках сильного та слабкого степеневого виродження. Шляхом зведення цих задач до еквівалентних систем рівнянь та застосуванням до них теореми Шаудера про нерухому точку цілком неперервного оператора встановлено умови існування розв’язків вказаних задач. При доведенні єдиності розв'язку використовуються властивості розв’язків однорідних інтегральних рівнянь Вольтерра другого роду у випадку слабкого степеневого виродження та метод нерівностей у випадку сильного степеневого виродження.

Дисертаційна робота присвячена дослідженню обернених задач визначення залежного від часу коефіцієнта при старшій похідній у параболічному рівнянні з виродженням в областях з вільними межами. На основі теореми Шаудера про нерухому точку цілком неперервного оператора встановлено умови існування розв'язку таких задач:

1. оберненої задачі визначення старшого коефіцієнта у слабко виродженому па-

раболічному рівнянні в області з вільною межею у випадку інтегральної умови перевизначення;

2. оберненої задачі визначення старшого коефіцієнта у слабко виродженому па-

раболічному рівнянні в області з вільною межею у випадку умови Стефана;

3. оберненої задачі визначення коефіцієнта при старшій похідній у сильно ви-

родженому параболічному рівнянні в області з вільною межею;

4. оберненої задачі визначення старшого коефіцієнта у слабко виродженому

параболічному рівнянні в області з двома невідомими ділянками межі;

5. оберненої задачі визначення старшого коефіцієнта у сильно виродженому

параболічному рівнянні в області з двома невідомими ділянками межі.

Єдиність розв’язків розглядуваних задач встановлено шляхом дослідження систем однорідних інтегральних рівнянь Вольтерра другого роду у випадку слабкого степеневого виродження та встановлення оцінок деякого рівняння, що містить невідомі функції, у випадку сильного степеневого виродження. Крім того, в області з вільною межею та в області з двома невідомими ділянками межі знайдено припущення щодо молодших членів параболічного рівняння, при яких однозначно визначається невідомий залежний від часу старший коефіцієнт параболічного рівняння у випадках сильного та слабкого степеневого виродження.

Публікації автора:

1. Гринців Н.М. Обернена задача для рівняння теплопровідності з вироджен-

ням в області з вільною межею // Мат. методи та фіз.- мех. поля. – 2006. – Т. 49, №4. – С. 28-40.

2. Гринців Н.М. Обернена задача для параболічного рівняння з виродженням в

області з вільною межею // Вісн. Львів. ун-ту. Серія мех.-мат. – 2006. – Вип. 66. – С. 45-59.

3. Гринців Н.М. Розв'язність оберненої задачі для виродженого параболічного

рівняння в області з вільною межею // Науковий вісник Чернівецького університету. – 2006. – Вип. 314-315. Математика. – С. 40-49.

4. Гринців Н.М. Про єдиність розв'язку оберненої задачі для виродженого па-

раболічного рівняння в області з вільною межею // Вісник Одеськ. нац. ун-ту. – 2007. – Т. 12, вип. 7 . Матем. і мех. – С. 19-35.

5. Гринців Н.М. Обернена задача для слабко виродженого параболічного рів-

няння в області з вільними межами // Математичний вісник НТШ. – 2007. – Т. 4. – С. 49-65.

6. Гринців Н.М. Обернена задача для сильно виродженого параболічного рів-

няння в області з вільними межами // Вісн. Львів. ун-ту. Серія мех.-мат . – 2007. – Вип. 67. – С. 84-97.

7. Гринців Н.М. Обернена задача для рівняння теплопровідності з вироджен-

ням в області з вільною межею // Одинадцята міжнародна наукова конференція імені акад. М. Кравчука (18-20 травня 2006). Тези доповідей. – К.: НТУУ "КПІ". – 2006. – С. 74.

8. Гринців Н.М. Розв'язність оберненої задачі для виродженого параболіч-

ного рівняння в області з вільною межею // Диференціальні рівняння та їх застосування. Міжнародна конференція (11-14 жовтня 2006). Тези доповідей. – Чернівці: Рута. – 2006. – С. 31.

9. Гринців Н.М., Іванчов М.І. Обернена задача для сильно виродженого рів-

няння теплопровідності в області з вільною межею // Міжнародна математична конференція ім. В.Я. Скоробогатька (24-28 вересня 2007). Тези доповідей. – Дрогобич: Інститут прикладних проблем механіки і математики ім.. Я.С. Підстригача НАН України. – 2007. – С. 78.

10. Hryntsiv N. Inverse problem for the degenerate parabolic equation in a free

boundary domain // International Conference on Differential Equations Dedicated to the 100th Anniversary of Ya.B. Lopatynsky. (September 12-17, 2006). Books of abstracts. – Lviv: Видавничий центр Львів. нац. ун-ту ім. Івана Франка. – 2006. – P. 101-102.